Основні положення.

Лабораторна робота №1

Тема: Побудова математичних моделей статичних, стохастичних об’єктів управління методом найменших квадратів.

Мета: Освоїти методику проведення пасивного експерименту та обробки експериментальних даних за методом найменших квадратів.

Основні положення.

Статичною характеристикою (математичною моделлю статики) об’єкта управління називається функціональна залежність вихідних величин об’єкта від вхідних діянь (збурення / управління) в усталеному режимі роботи об’єкта, коли всі його змінні є сталими в часі.

Стохастичним об’єктом називається об’єкт, в якому всі його змінні змінюються як випадкові процеси. Ці випадкові процеси підкоряються певним статистичним закономірностям – законам розподілення.

Більшість технологічних об’єктів управління є стохастичними об’єктами, в яких змінні є випадковими процесами з нормальним (Гаусовим) законом розподілення. У цьому випадку може бути виявлена в процесі експерименту та обробки експериментальних даних статистична закономірність - рівняння регресії, яка відтворює статистичну залежність математичного сподівання вихідної величини від вхідних дій.

Такі моделі (закономірності) отримуємо в результаті обробки експериментальних даних пасивного чи активного експерименту.

Пасивний експеримент полягає у спостережені за функціонуванням об’єкта, шляхом вимірювання всіх його змінних, що входять в модель без нанесення на об’єкт спланованих діянь.

Одним з методів побудови математичних моделей таких стохастичних об’єктів є метод найменших квадратів. Метод найменших квадратів – це метод параметричної ідентифікації об’єктів управління.

Математичні моделі об’єктів управління складаються з двох основних компонентів:

- структури S;

- параметрів цієї структури А_S.

-

M =< S, A_S >

Структура математичної моделі S являє собою сукупність елементів (вхідні та вихідні змінні), форм зв’язків між цими елементами, типів зв’язків.

у = а₀+а₁х₁+а₂х₂,

де у, х₁, х₂ – елементи;

Тип зв’язку лінійний.

у = а₀+а₁х₁+а₂х₁²,

де у, х₁– елементи;

Тип зв’язку лінійний, степеневий ил.

у = а₀х₁^а1,

де у, х₁– елементи;

а₀ – параметр;

Тип зв’язку показниковий.

Параметрами структури є коефіцієнти рівняння, константи, за допомогою яких кількісно оцінюється взаємозв'язок між змінними.

При параметричній ідентифікації структура математичної моделі визначається не формальним шляхом, частіше всього апріорні (до дослідів), на основі досвіду застосування на об’єктах подібного класу, або шляхом висунення декількох структур претендентів, остаточний вибір найбільш ефективної з них здійснюється в процесі обробки даних.

Метод найменших квадратів є оптимізаційною задачею, критерієм оптимальності якої є вираз:

Ф= , (1)

де і – номер експерименту;

n – загальна кількість експериментів;

у^е_і, у^м_і – відповідно, значення вихідної величини об’єкта, отримані в результаті і – того експерименту та розраховані по математичній моделі призначення вхідних дій, отриманих на і – тому експерименті.

У випадку відомої структури f рівняння (1) набуває вигляду:

Ф= , (2)

В постановці (2) метод найменших квадратів є задачею нелінійного програмування.

У випадку, якщо функція f_j є диференційованою, тоді задачу (2) можна вирішити методами градієнтними (методами класичного аналізу). Якщо функція f буде лінійною для одного параметра, то:

Ф= , (3)

Для вирішення задачі (3) знаходимо часткові похідні та прирівнюємо їх до нуля:

Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв'язком якої є:

;

.

№екс

Xei, В

Yei,

Yмi, л

Yei, нл

Yi, не

№експ
Xei, B
Yei,
Yмi, л
Yei, нл
Yi, нл