Модель популяций Мальтуса

Лабораторная работа 1 ММ

Моделирование простейших систем

Модель математического маятника

Справочный материал

Рассмотрим модель математического маятника, используемая для определения скорости пули (Рис. 1):

Рис. 1.

Здесь: M – масса маятника, m – масса пули, l – длина маятника,

α – угол отклонения маятника. Скорость пули v, рассчитанная на основе этой модели, вычисляется по формуле:

v=

Пример. Пусть M = 60 кг =60000 г, m = 9 г, l = 2 м, g = 9.8 м/с², α = 60⁰,

Тогда по формуле (1) для скорости пули получаем величину

v = .

Отсюда получаем v= 361 м/с.

Задание. По заданным величинам M, m, l, α рассчитать величину скорости пули v:

Модель популяций Мальтуса

Справочный материал

В основу модели популяций Мальтуса положено простое утверждение - скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму

коэффициентов рождаемости и смертности . В результате приходим к уравнению

.

Задание. Проинтегрировать это соотношения при постоянных значениях α (t)=α и β (t)=β и начальном условии N(0)= 100, построить графики функций N(t) при значениях величин α и β из таблицы

3. Модель «хищник - жертва»

Справочный материал

Математическая модель наиболее простой, т. е. двух видовой системы «хищник – жертва» основывается на следующих предположениях:

1) численности популяций жертв N и хищников M зависят только от времени (модель не учитывающая пространственное распределение популяции на занимаемой территории);

2) в отсутствие взаимодействия численность видов изменяется по модели Мальтуса; при этом число жертв увеличивается, а число хищников падает, так как им в этом случае нечем питаться:

3) естественная смертность жертвы и естественная рождаемость хищника считаются несущественными;

4) эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается;

5) скорость роста численности жертвы уменьшается пропорционально численности хищников, т. е. величине Cm, c> 0, а темп роста хищников увеличивается пропорционально численности жертвы, т. е. величине Dn, d> 0.

Объединяя предположения 1) – 5), приходим к системе уравнений Лотки

(1)

из которой по начальным численностям N(0), M(0) определяется численность популяций в любой момент t > 0.

Нелинейную систему (1) удобно исследовать в плоскости переменных N, M, для чего первое уравнение поделим на второе:

(2)

Уравнения (1), (2) имеют положение равновесия (или стационарное, не зависящее от времени решение):

M₀ = /c, N₀ = /d. (3)

Исследуем устойчивость положения равновесия (3). Под этим подразумевается следующее. Если начальные численности в точности равны величинам (3), то как с течением времени они изменяются? Если по каким-то причинам численности ненамного отклоняются от величин M₀, N₀, то вернется ли система в положение равновесия? Наконец, если начальные значения N(0), M(0) заметно отличаются от равновесных, то каким образом они меняются со временем относительно величин N₀, M₀?

Для ответа на эти вопросы преобразуем уравнение (2) к виду

dn(- )M = dm( )N

или, после деления на NM и переноса всех членов в левую сторону, к виду

(4)

Уравнение (4) нетрудно проинтегрировать и получить соотношение

где константа в правой части определяется по начальным значениям N(0) M(0). Другими словами, уравнение (2), или, что то же самое, система (1) имеет интеграл вида

N exp(-Dn)=C₁ M (- )exp(Cm), C₁ > 0. (5)

Существование интеграла (5) дает возможность ответить на поставленные выше вопросы (на Рис. 2 изображены фазовые траектории системы (1); направление движения по траекториям с течением времени – против часовой стрелки):

Рис. 2. Фазовые траектории системы «хищник-жертва»

а) если N(0)=N₀, M(0)=M₀, то во все моменты времени численности популяций не меняются;

б) при малом отклонении от положения равновесия численности как хищников, так и жертв с течением времени не возвращаются к равновесным значениям (при этом из модели (1) получается стандартное уравнение колебаний);

в) если отклонение от положения равновесия велико, то поведение функций N(t), M(t) такое же, как и в случае б).

Эти выводы означают, что численности популяций жертв и хищников совершают периодические колебания вокруг положения равновесия. Амплитуда колебаний и их период определяются начальными значениями численностей N()0, M(0), они совершаются не в фазе: максимальному значению N(t) соответствует среднее значение M(t) и наоборот.

Задание. Решить численно в окрестности положения равновесия

систему дифференциальных уравнений (1), начальные значения выбирать вблизи положения равновесия, шаг интегрирования выбирать равным одной десятой от равновесных значений M(0) и N(0), интервал интегрирования выбирать не менее, чем период колебаний. Построить графики N(t) и M(t). Значения величин α, β, c, d, необходимые для конкретизации системы (1), приведены в таблице: