Задание 1. Численные методы рения нелинейных уравнений

Численные методы рения нелинейных уравнений

Методы численного интегрирования

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Выполнил: Видякин Д. Н.

Группа: ГСХ-13-1-бз

Преподаватель: Пермякова Т. Б.

Пермь 2014

Задание 1. Численные методы рения нелинейных уравнений

Решить нелинейное уравнение , с заданной точностью e=0, 1; 0, 01; 0, 001

С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=f(x) или абсцисс точек пересечения графика функции c осью Х, т.е. значений x_i. для которых выполняется условие f(x_i)=0 (для i=1, 2, ……).

Первый этап: локализация корней. Определим ОДЗ функции , xÎ (-∞; ∞). Выделим отрезок, на котором уравнение имеет единственный корень. Для этого протабулируем функцию для xÎ ОДЗ и построим ее график.

Таблица и график функции показывают, что на отрезке [1, 5] уравнение имеет единственный корень.

Второй этап: вычисление корня уравнения с заданной точностью e методом Ньютона (касательных).

Геометрически метод Ньютона заключается в замене небольшого участка дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке к этой кривой. Выберем начальное приближение. Начальное приближение x₀ выбирается, исходя из условия f(x₀) f ^’’(x₀) > 0. Для функции 2-ая производная, которой больше 0 (f ^’’(x₀) > 0, функция выпукла книзу), f(a)< 0, f(b)> 0, следовательно, x₀ = b. Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке A₀[x₀, f(x₀)]. В качестве 1-го приближения корня х₁ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку А₁[x₁, f(x₁)]. снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х₂ и т.д. Продолжим процесс, в результате получим итерационную последовательность x₀, x₁, x₂, ……x_n, Формула для вычисления n-ого приближения

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится одно из условий

Или

Подготовим таблицу. Найдем начальное приближение исходя из условия f(x₀) f ^’’ (x₀)> 0. Для функции вторая призводная положительна на всем отрезке [0.5, 3] (функция – выпуклая книзу), f(0.5)< 0, f(3.0)> 0, следовательно x₀=b=3. Корень уравнения x^* с заданной точностью ε вычисляется по формуле

Количество итераций зависит от точности, чем выше точность, тем больше итераций. Так при e=0, 1 n=1 Х=3, 236; e=0, 01 n=2 Х=3, 229; e=0, 001 n=2 Х=3, 229.