Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Краткие теоретические сведения

 

 

 

 

Задание 1.

Приняв шаг 0.05, построить на отрезке [3, 5; 3, 7] интерполяционный полином Ньютона для функции y=ex , заданной таблицей

X 3, 50 3, 55 3, 60 3, 65 3, 70
Y 33, 115 34, 813 36, 598 38, 475 40, 447

Построим таблицу конечных разностей

X Y Δ Y Δ 2Y Δ 3Y Δ 4Y
3, 50 33, 115 1, 698 0, 087 0, 005 -0, 002
3, 55 34, 813 1, 785 0, 092 0, 003  
3, 60 36, 598 1, 877 0, 095    
3, 65 38, 475 1, 972      
3, 70 40, 447        

Строим интерполяционный полином Ньютона

 

Задание 2.

Имея таблицу значений функции y=sin(x) в пределах от X=150 до X=400 c шагом 50, найти sin 380, sin 190. Оценить погрешность результата.

Построим таблицу конечных разностей

X Y Δ Y Δ 2Y Δ 3Y Δ 4Y
  0, 2588 0, 0832 -0, 0026 -0, 0006  
  0, 3420 0, 0806 -0, 0032 -0, 0006  
  0, 4226 0, 0774 -0, 0038 -0, 0006  
  0, 5000 0, 0736 -0, 0044    
  0, 5736 0, 0692      
  0, 6428        

Найдем sin 190, воспользовавшись первой интерполяционной формулой Ньютона:

=0, 3255

Рассчитываем относительную погрешность результата

sin 190 =0, 3256

δ =

Найдем sin 380, воспользовавшись второй интерполяционной формулой Ньютона:

 

=0, 61569

Рассчитываем относительную погрешность результата

sin 380 =0, 61566

δ =

Задание 3.

Построить эмпирическую формулу для некоторой функции, заданной таблицей

X Y Δ Y Δ 2Y Δ 3Y Δ 4Y
  -6   -6    
           
           
           
           
           
           
           
           
           


P3(x)

=-6+6(x-0)-3(x-0)(x-1)+1(x-0)(x-1)(x-2)=-6+6x-3x2+3x+x3-2x2-x2+2x=

=x3-6x2+8x-6

Индивидуальное задание

1.Составить таблицу значений функции, приведённой в табл.2, разбив заданный интервал на 10 отрезков с h=const.

Функция tg интервал [0; 2]

X Y
  0, 0000
0, 2 0, 4796
0, 4 0, 7329
0, 6 0, 9786
0, 8 1, 2458
  1, 5574
1, 2 1, 9428
1, 4 2, 4496
1, 6 3, 1666
1, 8 4, 2872
  6, 3341

h=0, 2

2. Составить таблицу конечных разностей

X Y Δ Y Δ 2Y Δ 3Y Δ 4Y Δ 5Y Δ 6Y Δ 7Y Δ 8Y Δ 9Y Δ 10Y
  0, 0000 0, 4796 -0, 2264 0, 2188 -0, 1899 0, 1838 -0, 1711 0, 1700 -0, 1570 0, 1724 -0, 0946
0, 2 0, 4796 0, 2533 -0, 0075 0, 0290 -0, 0061 0, 0127 -0, 0012 0, 0129 0, 0154 0, 0778  
0, 4 0, 7329 0, 2457 0, 0215 0, 0229 0, 0066 0, 0115 0, 0117 0, 0283 0, 0931    
0, 6 0, 9786 0, 2672 0, 0444 0, 0295 0, 0181 0, 0232 0, 0400 0, 1214      
0, 8 1, 2458 0, 3116 0, 0738 0, 0475 0, 0413 0, 0633 0, 1615        
  1, 5574 0, 3854 0, 1214 0, 0888 0, 1046 0, 2248          
1, 2 1, 9428 0, 5068 0, 2102 0, 1934 0, 3293            
1, 4 2, 4496 0, 7170 0, 4036 0, 5227              
1, 6 3, 1666 1, 1206 0, 9263                
1, 8 4, 2872 2, 0469                  
  6, 3341                    
                         

3. По первой и второй интерполяционным формулам Ньютона определить значение функции в точках

0, 05

0, 1

1, 95

1, 9

 

P10(0, 05) 0, 25*0, 4796

+ …+ =

=0+0, 1199+0, 021225+0, 01197+0, 00714+0, 00518+ 0, 00382+ 0, 003116+ 0, 002429+ +0, 002297+ 0, 001103= 0, 178183

P10(0, 1) 0, 5*0, 4796

+ …+ =

=0+ 0, 239812+ 0, 028295+ 0, 013678+ 0, 007417+ 0, 005025+ 0, 003509+ 0, 002738+ 0, 002056+ 0, 001881+ 0, 000878= 0, 305289

P10(1, 95) 0, 25*2, 0469 0, 9263 0, 5227

0, 3293 0, 2248

- …- =

=6, 3341-0, 51173-0, 08684-0, 02859-0, 01238-0, 00634-0, 0036-0, 00223-0, 00144-0, 001040, 001103=5, 6810

P10(1, 9) 0, 5*2, 0469 0, 9263 0, 5227

0, 3293 0, 2248

- …- =

=6, 3341 -1, 02346 -0, 11579 -0, 03267 -0, 01286 -0, 00615 -0, 00331 -0, 00196 -0, 00122 -0, 00085+ 0, 000878= 5, 1367

4. Построить эмпирическую формулу для заданной функции.

P10(x)

+…+

=

Программа для расчёта значений функций с помощью интерполяционных формул Ньютона

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

 

namespace ConsoleApplication2

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

double x0, h, q, x, s, mn;

int n;

ConsoleKeyInfo cki;

 

double[][] tabl;

Console.Write(" Введите число строк таблицы n=");

n = Int32.Parse(Console.ReadLine());

Console.Write(" Введите X0=");

x0=Double.Parse(Console.ReadLine());

Console.Write(" Введите шаг h=");

h = Double.Parse(Console.ReadLine());

tabl=new double [n][];

for (int i = 0; i < n; i++)

{

tabl[i] = new double[n + 1];

tabl[i][0] = x0 + i * h;

Console.Write(" Введите шаг y[{0}]=", i);

tabl[i][1] = Double.Parse(Console.ReadLine());

}

 

for (int i=2; i< n+1; i++)

for (int j = 0; j < n - i + 1; j++)

{

tabl[j][i] = tabl[j + 1][i - 1] - tabl[j][i - 1];

tabl[j][i]=Math.Round(tabl[j][i], 5);

}

 

for (int i = 0; i < n + 1; i++)

{

if (i == 0)

Console.Write(" x \t");

if (i == 1)

Console.Write(" y \t");

if (i > 1)

Console.Write(" d{0}y \t", i - 1);

}

Console.WriteLine();

for (int i = 0; i < n; i++)

{

for (int j = 0; j < n+1; j++)

{

Console.Write(" {0} \t", tabl[i][j]);

 

}

Console.WriteLine();

}

do

{

Console.Write(" Введите аргумент для рассчёта x=");

x = Double.Parse(Console.ReadLine());

if (x< tabl[1][0])

{

q = (x - x0) / h;

s=tabl[0][1];

mn=1;

for (int i=0; i< n-1; i++)

{

mn*=(q-i);

mn/=(i+1);

s+=mn*tabl[0][i+2];

}

Console.WriteLine(" y({0})={1}", x, s);

}

if (x> tabl[n-2][0])

{

q = (x -tabl[n-1][0]) / h;

s=tabl[n-1][1];

mn=1;

for (int i=0; i< n-1; i++)

{

mn*=(q+i);

mn/=(i+1);

s+=mn*tabl[n-2-i][i+2];

}

Console.WriteLine(" y({0})={1}", x, s);

 

}

cki=Console.ReadKey();

}

while (cki.Key! = ConsoleKey.Escape);

}

}

}

 

Результат выполнения

 

Выводы: научился находить значения функций в точках не являющихся табличными, используя интерполяционные формулы при это погрешность вычислений была менее 0, 1% что свидетельствует о высокой точности получаемых результатов. Научился составлять аналитический формулы для нахождения значений функции с использованием интерполяционных формул Ньютона.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Развитие укр культуры и искусства 1921-1991 | Определение понятия информационных технологий. Краткая история развития ИТ. Причины создания ИТ.
Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.026 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал