Выполнение работы. Во многих научных и техни­ческих задачах интегрирование функций является составной частью решения полной проблемы

Во многих научных и техни­ческих задачах интегрирование функций является составной частью решения полной проблемы. Вычисление площадей и объемов, определение центра и моментов инерции тел, вычисление значения работы, произведенной некоторыми силами, и многие другие задачи приводят к интегрированию функций.

Если нет возможности выразить интеграл в известных специальных функциях, для которых имеются таблицы или про­граммы вычисления на ЭВМ, то применяется приближенное численное интегрирование. Кроме того, если функция задана таблично, то приближенное определение интеграла также выполняется численно.

Геометрический смысл определенного интеграла – это площадь фигуры, ограниченной прямыми , , осью O и кривой (рисунок 1).

Метод прямоугольников

Разобьем отрезок точками на n равных частей. В результате получим n криволинейных трапеций. Площадь каждой из трапеций можно приближенно заменить площадью прямоугольников.

Рисунок 1 – Геометрический смысл определенного интеграла

Метод прямоугольников относится к простейшим методам. К этому методу относят методы: левых прямоугольников, правых прямоугольников и средних прямоугольников.

1. Формула левых прямоугольников.

В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле , а – значения функции в соответствующих точках.

На рисунке 2 приведен геометрический смысл метода левых прямоугольников

Рисунок 2 - Геометрический смысл метода левых прямоугольников

2. Формула правых прямоугольников.

В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле , а – значения функции в соответствующих точках.

На рисунке 3 приведен геометрический смысл метода правых прямоугольников.

Рисунок 3 - Геометрический смысл метода правых прямоугольников

3. Формула средних прямоугольников.

В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке выглядит следующим образом:

,

в этой формуле .

На рисунке 4 приведен геометрический смысл метода средних прямоугольников.

Рисунок 4 - Геометрический смысл метода средних прямоугольников

Как следует из рисунков 2-4, метод прямоугольников имеет достаточно большую погрешность и поэтому широкого практического применения не находит.

Реализовать данный метод с помощью средств MS Excel можно следующим образом.

В диапазон А6: В8 вводим исходные данные. В ячейке В9 рассчитаем значение h.

В строчках 11-23 организуем вычисление интеграла: в ячейки А12: А22 введем нумерацию отрезков, в ячейки В12: В22 – формулу вычисления текущего значения . В ячейки С12: С22 организуем вычисление подынтегральной функции в соответствующих точках. В ячейке D6 вычислим интеграл по формуле метода. На рисунке 5 приведен образец оформления таблицы приближенного вычисления интеграла.

Рисунок 5 - Образец оформления таблицы приближенного вычисления интеграла

Организуйте вычисление этого же интеграла по формулам правых и средних прямоугольников. Результаты вычислений занесите в ячейки E6 и F6.

Метод трапеций

В качестве приближенного значения интеграла берем площадь трапеции (рисунок 6):

Рисунок 6 - Метод трапеций

По сравнению с методом прямоугольников метод трапеций более точен, так как трапеция точнее заменяет соответствующую криволинейную трапецию, чем прямоугольник. Формула интегрирования для диапазона [a, b], разбитого на N участков будет выглядеть следующим образом:

Дополните таблицу, разработанную для метода прямоугольников, и рассчитайте значение интеграла по методу трапеций. Результаты вычислений приведены на рисунке 7.

Рисунок 7 – Результат приближенного вычисления интеграла различными методами

Метод Симпсона (парабол)

В качестве приближенной площади под кривой берем площадь параболы через точки -h и h (рисунок 8).

Рисунок 8 - Метод Симпсона (парабол)

На основе уже рассчитанных данных вычислите интеграл методом Симпсона.