Поняття про поверхню у диференціальній геометрії. Дотична площини та нормаль до елементарної поверхні. Доступні умови їх існування.

Уравнения касательной плоскости и нормали для случая явного задания поверхности.

Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция z = f(x; y) дифференцируема в точке (x₀; у₀) некоторой области D Î R². Рассечем поверхность S, изображающую функцию z, плоскостями х = х₀ и у = у₀

Плоскость х = x₀ пересекает поверхность S по некоторой линии z₀(y), уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции z = = f(x; y) вместо х числа x₀. Точка M₀ (x₀; y_0, f(x₀; y₀)) принадлежит кривой z₀(y). В силу дифференцируемой функции z в точке М₀ функция z₀(y) также является дифференцируемой в точке у =у₀. Следовательно, в этой точке в плоскости х = х₀ к кривой z₀(y) может быть проведена касательная l₁.

Проводя аналогичные рассуждения для сечения у = у₀, построим касательную l₂ к кривой z₀(x) в точке х = x₀- Прямые 1₁ и 1₂ определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М₀.

Составим ее уравнение. Так как плоскость проходит через точку Mo(x₀; y₀; z₀), то ее уравнение может быть записано в виде

А(х - хо) + В(у - уо) + C(z - zo) = 0,

которое можно переписать так: z-z₀ = A₁(x – х₀) + B₁(y – у₀) (разделив уравнение на -С и обозначив).

Найдем A₁ и B₁.

Уравнения касательных 1₁ и 1₂ имеют вид

соответственно.

Касательная l₁ лежит в плоскости a, следовательно, координаты всех точек l₁ удовлетворяют уравнению (1). Этот факт можно записать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B₁, получим, что .Проводя аналогичные рассуждения для касательной l₃, легко установить, что .

Подставив значения А₁ и B₁ в уравнение (1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости, легко получить канонические уравнения нормали:

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М₀ поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в ее точке М(2; -1; 1).

Решение. Найдем частные производные данной функции и их значения в точке М

Отсюда, применяя формулы (2) и (3), будем иметь: z-1=2(х-2)+2(у+1) или 2х+2у-z-1=0 — уравнение касательной плоскости и — уравнения нормали.

2°. Уравнения касательной плоскости и нормали для случая неявного задания поверхности.

Если поверхность S задана уравнением F(x; у; z) = 0, то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:

(4)

— уравнение касательной плоскости и

(5)

— уравнения нормали.

Пример. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой x=0, y=a.

Решение. Найдем аппликату точки касания, подставив x=0, у=а в уравнение поверхности: - z3 = а3, откуда z= -а. Таким образом, точка касания есть M(0; а; -а).

Обозначив через F(х, у, z) левую часть уравнения, найдем частные производные и их значения в точке М:

Применяя формулы (4) и (5), получим: - 3a² (x-0)+0(y-a)-3a² (z+a)=0 или х+z+а=0 — уравнение касательной плоскости,

или

— уравнения нормали.