Поверхности в евклидовом пространстве

1. Написать уравнение касательной к плоскости и нормали в точке А.

2. Найти первую квадратичную форму поверхностей:

а) в произвольной точке;

б) в точке А.

3. Вычислите угол:

а) между координатными линиями поверхности в точке А;

б) между линией γ и линией γ ₁: u – v= 0.

4. Выбрать на линии γ две произвольные точки и посчитать длину дуги заключенной между этими точками.

5. Найти вторую квадратичную форму поверхности:

а) в произвольной точке;

б) в точке А.

6. Определите тип точки А.

7. Определите главные кривизны поверхности в точке А и главные направления.

8. Найти среднюю кривизну и полную кривизну поверхности в произвольной точке и в точке А.

9. Вычислите нормальную кривизну линии в произвольной точке.

Вариант	Уравнение поверхности	Уравнение кривой g	Координаты точки A
1.	x=u 2, y=v 2, z=uv	u 3– v =0	(2; 0)
2.		U – v= 0	(3; 1)
3.	x=u 3, y=v, z=uv	v 2– u 2 = 0	(2; 2)
4.	x=u, y=v, z=u 3 -v 3	u 4 – v 2=0	(2; –1)
5.	x=u, y=v 2, z=u+vx	u 2 – v =0	(4; 0)
6.	x=u 2, y=v, z=u+v	v 4 – u= 0	(1; 3)
7.	x=u, y=v, z=eu+ev	v 3 – u 2 = 0	(2; 1)
8.	x=u, y=v, z=u 2 -v	U – 3= 0	(3; 1)
9.	x=u, y=v, z=av 2	v 2 +u= 0	(0; 4)
10.	x=u, y=v, z= lg u	4 – v 3 = 0	(1; 3)
11.	x=u, y=u+v 3, z=u2	u+v 2 = 0	(0; 0)
12.	x=u 3, y=v 2, z=u+v	u 2– v 3=0	(2; 1)
13.	x=u 2, y=v 2, z=u 2 +v 2	u2 – v 4=0	(–1; 2)
14.	x=u 2, y=v 2, z=u	u2 – v =0	(–1; 1)
15.	x=uv, y=u 2, z=v 3	v – 2= 0	(0; 2)
16.	x=u, y=v, z=u 2 v	u2 – v 2=0	(1; –1)
17.	x=u – 1, y=1+v, z=u2+v2	3v – u= 0	(–3; –1)
18.	x=3u, y=3v, z=3u 2 +3v 2	4u+v= 0	(1; –4)
19.	x=u 2, y=v, z=u 2 v	u 2 +v 3 = 0	(–1; –1)
20.	x=au, y=av, z=auv	u3 – v4= 0	(1; –1)
21.	x=u 2 +v 2, y=v, z=v	u2 – v3= 0	(1; 1)
22.	x=u 2, y=uv, z=uv 2, u > 0, v > 0	u – 2v= 0	(2; 1)
23.	x=u 3, y=v 3, z=u+v	v – 2= 0	(1; 2)
24.	x=u 2, y=v 2, z=u		(1; 1)