Визначення положення, в якому знаходиться один предмет відносно іншого.

План

1. Значення, мета та зміст вивчення елементів геометрії в початкових класах.

2. Розвиток просторових уявлень молодших школярів.

3. Формування уявлень учнів про точку, пряму, криву лінію, відрізок, ламану.

4. Формування уявлень учнів про трикутник, чотирикутник, многокутник, коло, кут і периметр многокутника.

Завдання для самостійного опрацювання:

1.Ознайомитись у Державному стандарті початкової загальної освіти зі змістовою лінією «Просторові відношення. Геометричні фігури».

2.Знайти та законспектувати цікаві вправи та завдання на пропедевтику геометрії в початкових класах.

Основна література:

1. Богданович М.В., Козак М.В., Король Я.А., Методика викладання математики в початкових класах: Навч. пос. — 3-є вид., перероб. і доп.—Тернопіль: Навчальна книга—Богдан, 2006.—336 с.

2. Коваль Л.В., Скворцова С.О. Методика навчання математики: теорія і практика: Підручник для студентів за спеціальністю 6.010100 «Початкове навчання», освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр» [2-ге вид., допов. і переробл.] - Х.: ЧП «Принт-Лідер», 2011. - 414 с.

3. Стрілець С.І., Методика викладання математики в початкових класах у таблицях і схемах: Навчально-методичний посібник – Чернігів, 2012. – 104с.

4. Державний стандарт початкової загальної освіти. - 2011.

Додаткова література:
1.Богданович М. В., Пропедевтика геометрії та алгебри в початкових класах: Навчальна книга—Богдан, 2010.— 85 с.

2. Волчаста М. Вивчення геометричних фігур на уроках математики. // Початкова школа, 1998, №6. – С. 19 – 22.
3. Кудрякова Л.А.Изучаем геометрию // Начальная школа, 1997, №2. – С. 65-67.

4.Кухар В. М., Титова Г. С. Наступність у формуванні геометричних уявлень. //Початкова школа, 1982, №6.–С.40-42.

5. Салтановська Н. Пропедевтика формування геометричних уявлень у початковій школі // Початкова школа, 2006, №2. – С. 14-17.

6.Уманець А. В., Дудка О. М. Викладання пропедевтичного курсу геометрії у початкових класах. // Початкова школа, 1991, № 11. – С. 43 – 45.

1. Значення, мета та зміст вивчення елементів геометрії в початкових класах.

Вивчення елементів геометрії розвиває просторові уявлення, образне мислення; геометричний матеріал сприяє систематизації знань учнів про числа та дії над ними, готує до вивчення систематичного курсу геометрії.

Головне завдання полягає у розвитку в учнів просторових уявлень, уміння спостерігати, порівнювати, узагальнювати й абстрагувати; формуванні у школярів практичних умінь будувати, креслити, моделювати й конструювати геометричні фігури від руки та за допомогою простих креслярських інструментів.Геометрична пропедевтика поділяється на такі складові: розвиток просторових уявлень молодших школярів, формування уявлень про лінії і відрізок, креслення і вимірювання довжин відрізків, ознайомлення з многокутниками, колом і кругом, вимірювання периметра і площ много­кутників, спостереження геометричних тіл і введення їх назв.

У початковій школі вивчається такий геометричний матеріал:
1). Просторові відношення.
Учитель має навчити дітей:
* знаходити об'єкт на площині та в просторі;
*розкладати та переміщувати предмети на площині;
*вживати певну термінологію.

2). Геометричні фігури на площині: точка, пряма, лінії, відрізок, промінь, кути, многокутник, коло, круг.
Учитель має навчити дітей:
*визначати істотні ознаки геометричних фігур;
*навчити називати елементи многокутників (сторона, вершина);
*називати елементи кола й круга (радіус, діаметр, центр);
*навчити зображувати геометричні фігури на аркуші в клітинку,
*позначати геометричні фігури літерами латинського алфавіту;

*конструювати геометричні фігури з інших фігур;
*розбивати фігури на частини.
3). Геометричні тіла(геометричні фігури у просторі): куб, куля, циліндр, піраміда, конус.
Учитель має навчити дітей:
*розпізнавати геометричні фігури у просторі та їх елементи;
*навчити співвідносити образ геометричної фігури у просторі з об'єктами навколишньої дійсності.

Мета вивчення елементів геометрії буде досягнута, якщо наприкінці навчання в початковій школі учні будуть орієнтуватися в основних напрямах положення і руху на площині і в просторі; знати найпростіші геометричні форми, пізнавати і знаходити їх у навколишньому середовищі; знати назви основних елементів фігур і деяких тіл, уміти їх показати і полічити; знати, якими поверхнями обмежена просторова форма простіших многогранників; вміти вимірювати довжину відрізків і креслити відрізки заданої довжини, знаходити довжину ламаної і периметр многокутника, вміти будувати прямокутники на папері в клітинку.

Навчальна діяльність, в процесі якої діти оволодівають геометричним матеріалом, охоплює такі варіанти робіт: організоване вчителем спос­тереження різних геометричних форм і відношень; практика дітей у вимірюванні, побудові, конструюванні, малюванні; практика розв'язування задач з геометричним змістом.

Через спостереження починається ознайомлення дітей з геометричними формами, їх істотними ознаками, положенням у просторі і на площині. Важливо, щоб учні не лише сприймали готові образи, що їх дає вчитель, а й самі відтворювали геометричні форми в процесі моделювання, креслення, вирізування, малювання. Тому центральне місце у формуванні геометричних понять займає практика самих школярів.

2. Розвиток просторових уявлень молодших школярів.

Термін “просторова уява” включає до свого змісту сприймання відстані, на якій розміщені предмети відносно нас та відносно один одного, а також напряму, в якому вони перебувають та величини і форми предметів. Найбільше вправ на розвиток просторової уяви розглядають у 1 та 2 класі.

Серед вправ на розвиток просторових уявлень можна виділити кілька видів.

1). Орієнтування в напрямах руху і в розміщенні предметів відносно самого себе. Орієнтування в напрямах руху і в розміщенні предметів охоплює такі поняття: вперед, назад, наліво, направо; вгору, вниз; спереду, позаду; зліва, справа. З цими поняттями діти ознайомлюються ще в дошкільному віці. У 1 класі їх потрібно уточнити й закріпити. Це роблять за допомогою ігрових вправ, вправ під час проведення фізкультхвилинки, відповідних індивідуальних завдань. Подамо зразки вправ:

1. Назвіть два предмети, що знаходяться попереду від тебе (від учня); позаду від тебе; ліворуч від тебе; над тобою.

2. Опустіть руки вниз; праву руку підніміть вгору; витягніть руки вперед; ліву руку опустіть.

2). Орієнтування в розміщенні частин предмета, розташованого перед суб'єктом. Порядкове розміщення предметів. Наведемо зразки вправ:

1. Прочитайте, які числа записані у правому стовпчику? У середньому стовпчику? У лівому стовпчику? (Мал. 149).

2. Які фігури накреслено у нижній половині круга? У правій половині? (Мал. 150).

Мал. 149

Мал. 150

3. Покажіть верхній край дошки; лівий край дошки.

Визначення положення, в якому знаходиться один предмет відносно іншого.

Подамо зразки вправ:

1. Яка фігура на малюнку зліва? Яка справа? Яка посередині? (Мал. 151).

Мал. 151

2. Назвіть точки, що лежать на прямій; і вздовж прямої.

Подібні вправи конкретизують, уточнюють такі поняття, як " вгорі — внизу", " нижче — вище", " зліва — справа", " над", " під", " в (всередині)", " поза", " між" тощо.

4). Визначення положення предметів відносно певної особи. Порівняймо виконання двох вправ (мал. 154, 155).

Мал. 154 Яке дерево зліва від стовпа? (Ялина).

Мал. 155

Яке дерево зліва від дівчинки? (Береза). (У цьому завданні краще міркувати, коли відповідає дівчинка: " Зліва від мене росте береза").

За відповідними малюнками зручно уточнити поняття: " наступний", " попередній", " останній" тощо. Наприклад, за малюнком до казки " Ріпка" можна поставити запитання:

Хто стоїть попереду внучки? Хто позаду неї? Хто останній у цьому ряду? Хто перший? Хто наступний після Жучки? Хто попередній? Між ким стоїть бабка?

5). Визначення горизонтального, вертикального і похилого положень. Подамо зразки вправ:

1) Візьміть олівець і розмістіть його в горизонтальному положенні, в похилому положенні, у вертикальному положенні.

2) Покажіть, який з відрізків на малюнку займає вертикальне положення, похиле положення, горизонтальне положення (мал. 156).

3) Накресліть відрізок у вертикальному положенні; похилому положенні.

4) Порівняйте, який відрізок довший: накреслений у вертикальному чи похилому положенні.

Зрозуміло, що такі вправи застосовують і в подальшому навчанні математики, а також у наступних класах.

3. Формування уявлень учнів про точку, пряму, криву лінію, відрізок, ламану.

Крива і пряма лінії. Формування поняття про пряму і криву лінії можна почати показом спочатку обвислого, а потім натягнутого тонкого шнура. Учням варто запропонувати зігнути аркуш паперу довільної форми і в будь­-якому напрямі. Розправивши цей аркуш, вони побачать, що на ньому утво­рилася пряма лінія. Тут можна сказати, що пряма лінія нескінченна, а бачимо ми лише її частину.

Навчаючи дітей проводити прямі лінії за допомогою лінійки, вчитель спочатку демонструє виконання такої роботи на аркуші білого паперу, прикріпленого до класної дошки. Учні мають навчитися будувати вертикальну, горизонтальну і похилу прямі.

Відрізок. Введення відрізка передує першим вправам на вимірювання довжини. Вчитель креслить на дошці пряму лінію і позначає на ній рисками дві точки. Він пояснює дітям, що частину прямої, обмежену двома точками, називають відрізком прямої або відрізком. Кінці відрізка на малюнку позна­чають тоненькими рисочками або точками. Якщо на малюнку рисочок (точок) немає, то це зображення прямої.

Після ознайомлення з поняттям відрізка дітей вчать порівнювати їх за довжиною. Спочатку відрізки порівнюють " на око". При цьому вживають слова " рівні", " нерівні", " однакові", " довший", " коротший". Потім порівнюють за довжиною дві палички (дві смужки), прикладаючи їх одна до одної.

У 1 класі вони ознайомлюються з мірами 1 см і 1 дм, 1 м. Учні 2 класу оволодівають навичками побудови відрізків заданої довжини, розв'язування задач на знаходження довжини ламаної, обчислення периметра прямо­кутника.

Ламана лінія. Ламана лінія вводиться за такими малюнками підручника (мал. 157, 158).,..л^,, ^, ^ ■,.«*■.■ < *..^ «ж. - ш> -- ■

Мал. 157

Мал. 158

Потім подається окрема ламана лінія (мал. 159) і ставиться запитання: зі скількох відрізків складено ламану лінію?

Мал. 159

У 3 класі вводять буквенне позначення відрізків. Відрізки широко вико­ристовуються для розгляду понять збільшення і зменшення числа в кілька разів, кратного порівняння чисел та ін. У 4 класі вимірювання і креслення відрізків здебільшого пов'язані з розв'язуванням задач, зокрема задач на знаходження відстаней та на знаходження дробу від числа.

Задача. Відрізок АВ становить 2/5 відрізка АС. Виміряйте довжину відрізка АС, а довжину відрізка АВ знайдіть обчисленням

Креслення відрізків за масштабом. Як правило, такі завдання учні виконують під безпосереднім керівництвом учителя. Пояснення ведеться під час виконання вправ виду:

/. Довжина накресленого на дошці відрізка А О дорівнює 8 дм. Побудуйте в зошиті зображення цього відрізка у зменшеному вигляді, припустивши, що 1 см відрізка в зошиті означатиме 1 дм відрізка на дошці.

Скільки сантиметрів становить довжина накресленого в зошиті відрізка? У скільки разів відрізок на дошці довший, ніж відрізок, накреслений у зошиті?

2. Відстань між: містами дорівнює 70 км. Зобразіть цю відстань відрізком у зошиті, припустивши, що 1 см становить 10 км.

Наведемо приклади завдань, в яких використовується поняття масштабу:

Відстань між двома населеними пунктами зображено відрізком КМ (мал. 161). Обчисліть цю відстань, взявши до уваги, що в 1 см вміщується 5 км.

Мал. 161

2. Знайдіть відстані між Києвом та Вінницею і Києвом та Житомиром. Порівняйте відстані (мал. 162). Масштаб: в 1 см — 20 км.

Київ — Вінниця.

4. Формування уявлень учнів про трикутник, чотирикутник, многокутник, коло, кут і периметр многокутника.

Зміст роботи розкриємо окремо для кожного класу.

У 1 класі учні ознайомлюються з трикутником, чотирикутником, п'ятикутником і шестикутником. Діти повинні засвоїти правильні назви цих многокутників, вміти їх розпізнавати. З цією метою многокутники, а також круг постійно використовуються як дидактичний матеріал. За програмою розгляд елементів многокутника у 1 класі не передбачено, але багато вчителів у ході аналізу того чи іншого многокутника пропонують показати і полічити сторони, вершини, кути. Таке випередження допустиме, але не слід його вводити в ранг програмових вимог.

У процесі вивчення нумерації чисел першого десятка практикується складання многокутників з паличок, вирізування з паперу, а також розпізнавання многокутників на предметах оточення та малюнках.

Новою вправою буде в цей час розгляд многокутника, поділеного відрізком на дві фігури, і визначення назви кожної фігури (мал. 163).

Мал. 163

Робота з формування уявлень учнів про круг і многокутники проводиться в тісному зв'язку з уроками праці й образотворчого мистецтва. Діти складають фігури з паперу, малюють їх, використовують фігури для різноманітних апліка­ційних робіт, малюють орнаменти з геометричними фігурами.

У 2 класі продовжується робота з формування уявлень учнів про много­кутники і круг. Пропонуються дещо ускладнені вправи на розпізнавання многокутників, на поділ фігур на многокутники і немногокутники. Учні вивчають елементи многокутників, вимірюють довжини їх сторін.

Поняття кута і вершини трикутника (многокутника) вводять (конкретизують) за допомогою запитань: Скільки в трикутнику кутів? Вершин? Сторін?

Сторони, вершини і кути многокутника потрібно показувати учням на моделях плоских фігур. Кут бажано показати віялоподібним рухом указки, один кінець якої суміщений з вершиною кута многокутника. Треба звернути увагу дітей на те, що вершина многокутника є і вершиною відповідного кута. Бажано показати їм, що кути є різні за величиною, але величина кута не залежить від довжини його сторін.

Прямий кут. Для ознайомлення з прямим кутом варто розглянути його утворення в процесі перегинання листка паперу. Кожному учневі треба дати аркуш паперу довільної форми. Потім під керівництвом учителя діти складають аркуші вдвічі, притискують лінію згину. Після цього аркуш перегинають ще раз, стежачи за тим, щоб частини утвореної раніше лінії перегину сумістилися. Утвориться кут. Такий кут називається прямим. Якщо папір розгорнути, діти побачать, що дві лінії перегину поділяють аркуш на чотири частини. Утворилось чотири прямі кути, які мають спільну вершину.

За допомогою паперової моделі прямого кута учні відшукують прямі і непрямі кути на предметах з навколишнього оточення і на косинці. Після цього користуються прямим кутом косинця.

Прямокутник. Дітям пропонують розглянути малюнки чотирикутників і знайти серед них такі, в яких всі кути прямі (мал. 164). Після цього подають означення прямокутника.

Мал. 164

Варто звернути увагу учнів на форму навколишніх предметів або їх частин. Вони знаходять предмети, що мають форму прямокутника: зошит, книжка, кришка стола, класна дошка тощо.

У процесі вимірювання сторін прямокутника діти встановлюють, що його протилежні сторони рівні.

Через кілька уроків вводять поняття довжини і ширини прямокутника.

Квадрат. Квадрат вводять як рівносторонній прямокутник. Учитель пропонує серед даних на малюнку прямокутників або серед даних моделей знайти такі, в яких сторони рівні (мал. 165). Після цього він подає означення квадрата.

Мал. 165

Із введенням понять прямокутника і квадрата збагачуються вправи на розпізнавання многокутників. Адже тепер квадрат має чотири назви: квадрат, прямокутник, чотирикутник і многокутник, а прямокутник — три назви: прямокутник, чотирикутник і многокутник.

Наприкінці навчання в 2 класі запроваджуються вправи на розпізнавання многокутників у конфігураціях фігур.

Коло і круг. При введенні поняття кола і круга можна йти двома шляхами:

а) розглянути спочатку коло як особливий вид кривої лінії, а потім ввести поняття круга як фігури, яку обмежує коло;

б) розглянути круг, виходячи з відомого дітям поняття " кружечок", а коло ввести як лінію, яка обмежує круг. У зв'язку з тим, що кружечки, вирізані з паперу, потрібні для проведення предметної лічби вже з перших уроків математики, перевагу варто надати другому шляху.

Учитель повідомляє дітям, що на малюнку зображено круг (мал. 166).

Мал. 166

Лінія, яка є межею круга, називається колом. Коло будують за допомогою циркуля. Точка О, в якій міститься голка циркуля, — центр кола. Відрізок ОА — радіус кола.

З метою уточнення уявлень про коло і круг доцільно розглянути вправи виду:

.С

Мал. 167

Назвіть точки, які: а) належать кругу; б) належать колу; в) не належать кругу; г) належать кругу, але не належать колу (мал. 167).

Навчаючи дітей креслити коло за допомогою циркуля, вчитель спочатку демонструє таку побудову на аркуші білого паперу, прикріпленому до дошки. При цьому він ознайомлює їх з інструкцією побудови кола за допомогою циркуля:

1. Розвести ніжку циркуля і вістря олівця на величину заданого радіуса. Для цього голку треба встановити на нульову поділку лінійки, а вістря олівця — на поділку, числове значення якої дорівнює заданій величині радіуса.

2. Встановити голку в задану точку. Для цього правою рукою потрібно тримати олівець, а пальцем лівої руки спрямовувати вістря голки в задану точку.

3. Коло креслять в напрямі за годинниковою стрілкою, нахиливши циркуль трохи вперед у напрямі руху олівця. Починати креслити слід від нижньої точки кола (від себе).

4. Креслити коло треба однією правою рукою, тримаючи олівець за верхній кінець.

5. Лікоть правої руки спочатку відведений від корпуса, а відповідно до наближення вістря олівця до кінця (і початку) кола поступово наближається до нього.

Спочатку учні вчаться будувати коло на окремих аркушах паперу (на чернетках). Коли вони більш-менш правильно навчаться креслити коло, можна дозволити побудову кола в зошиті.

Є сенс і в тому, щоб ввести у 2 класі поняття діаметра кола. Вчитель пропонує дітям провести відрізок, який би проходив через центр кола і сполучав дві точки кола. Потім він повідомляє, що такий відрізок називається діаметром кола. Діаметр кола складається з двох радіусів.

Він поділяє круг на дві рівні частини.

Периметр многокутника. Означення периметра многокутника вводять у 2 класі. Як і довжину ламаної лінії, периметри многокутників знаходять у результаті вимірювання довжин їх сторін з подальшим додаванням здобутих результатів.

У 3 класі

продовжується вивчення елементів многокутника – сторони, вершини, кути; визначаються характерні ознаки прямокутника (квадрата);
учні будують прямокутник (квадрат) із заданими довжинами сторін за допомогою креслярських інструментів; будують коло (круг) заданого радіуса за допомогою циркуля.

Пропонуються різні вправи на побудову многокутників на папері в клітинку. Причому такі завдання ускладнюють поділом фігури на задані многокутники.

Учні продовжують виконувати вправи на знаходження периметра многокутника. При цьому їм потрібно показати різні способи обчислення. Якщо довжину прямокутника позначити буквою а, а ширину — буквою Ь, то ці способи можна записати так: а + Ь + а + Ь; а + а + Ь + Ь; а • 2 + Ь • 2; (а + Ь) • 2. Останній спосіб найзручніший, але учні повинні бути ознайомлені з усіма способами.

У 4 класі

Учні мають уявлення про діагональ многокутника; розпізнають геометричні фігури у просторі; розпізнають елементи прямокутного паралелепіпеда – ребро, бічну грань, основу, вершину; співвідносять образ геометричної фігури з об’єктами навколишнього світу; діти продовжують виконувати вправи на розпізнавання і побудову плоских фігур, розв'язують інші задачі з геометричним змістом.

Геометричні задачі, пов'язані з периметром, дещо ускладнюються, більшість з них пов'язана з поняттям площі фігури.