Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради или на листах формата А4, с обязательным оформлением титульного листа.

При оформлении контрольной работы необходимо переписать условия каждого задания, записать решение, используя при этом необходимые формулы, дать краткое пояснение всех расчетов. Задания, в которых даны только ответы без необходимых пояснений и расчетов, не засчитываются.

В конце работы необходимо привести список использованной литературы, поставить свою подпись и дату.

Получив проверенную работу, следует внимательно изучить замечания и рекомендации преподавателя, проанализировать отмеченные ошибки и недостатки, внести необходимые дополнения и исправления

Задание № 1. Даны вершины А (х₁; у₁), В (х₂; у₂), С (х₃; у₃) треугольника АВС. Требуется найти: А) уравнение стороны АС; Б) уравнение высоты, проведенной из вершины В; В) длину высоты, проведенной из вершины А; Г) величину угла В (в радианах); Д) уравнение биссектрисы угла В.

А(20; 5), В(-4; 12), С(-8; 9).

Задание № 2. Даны вершины А₁(х₁; у₁; z₁), A₂(х₂; у₂; z₂), A₃(х₃; у₃; z₃), A₄(x₄; y₄; z₄). Средствами векторной алгебры найти: А) длину ребра А₁A₂; Б) угол между ребрами А₁A₂ и А₁A₃; В) площадь грани А₁A₂A₃; Г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄; Д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины A₄; Е) объем пирамиды А₁A₂A₃A₄.. Варианты: А₁(2; -1; 9), A₂(1; 1; 5), A₃(7; 3; 1), A₄(2; 6; -2).

Задание № 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Задание № 4. Решить 2 системы методом Гаусса и 1 систему матричным методом (в таблицах даны элементы расширенных матриц систем 4-х уравнений с 4-мя неизвестными).

Задание № 5. Z₁, Z₂ – комплексные числа. Выполнить действия: А) Z₁+ Z₂; Б) Z₁ × Z₂; В) Z₁/Z₂. Варианты: Z₁=5–i; Z₂=4-3i

Задание № 6. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Варианты: Z=2-i.

Задание № 7. Вычислить указанные пределы, не используя правило Лопиталя. Варианты:

А) X0 = 1

Б) X0 = -1

В) X0 = ¥

Задание № 8. Найти производные функций. Варианты:

1.

А) ; В) ;

Б) ; Г)

Задание № 9. С помощью дифференциала найти приближенное значение функции. Варианты:

А) ln1.34; Б)sin32⁰

Задание № 10. Для функции z=f(x, y) найти частные производные первого и второго порядков.

Варианты:

Задание № 11. Вычислить неопределенные интегралы. Варианты:

А) ;

Б) ;

В)

Задание № 12. Решить задачи комбинаторики. Варианты:

1. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Определите вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Задание № 13. Межотраслевой балансовый метод. Постановка задачи: машиностроительное предприятие состоит из трех цехов, каждый из которых выпускает определенный тип продукции. По данным за отчетный год построен баланс производства и распределения продукции в денежном выражении. Схема балансовой модели представлена в таблице № 1, где каждый цех рассматривается с двух сторон: как производитель продукции (строка таблицы) и как потребитель продукции (столбец таблицы).

Таблица № 1

Таким образом, в каждом столбце балансовой модели показаны затраты деталей узлов и узлов собственного производства, покупных материалов, сырья и трудовые затраты.

Строки модели показывают, где используется продукция каждого цеха (т. е. в какой цех поступает и сколько идет на реализацию).

На следующий год планируется выпуск товарной продукции первого цеха увеличить на 50 %, а остальных цехах оставить без изменения. Рассчитать следующие показатели:

коэффициенты прямых материальных; коэффициенты полных затрат и коэффициенты косвенных затрат; сбалансированные объемы производства в каждом цехе (валовый оборот), исходя из запланированного объема конечной продукции; трудовые затраты в каждом цехе на плановый период; затраты сырья и материалов на плановый период; величины материальных потоков между цехами; на основе полученных значений показателей построить баланс производства и распределения продукции на плановый период (представить в виде таблицы № 1) и проверить выполняется ли основное соотношение баланса.

Для каждого варианта необходимо взять из таблицы № 2 три строки, указанные в номере варианта, добавить к ним строку с затратами сырья и материалов и строку с затратами труда. Информацию выбранных строк записать в виде таблицы № 1.

Таблица № 2

Варианты (номер варианта и номера строк таблицы):

Задание № 14. Оптимальное планирование (симплексный метод). Постановка задачи: предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимыми для производства любого из трех видов производимых товаров 1, 2, 3. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товаров; прибыль, получаемая от реализации единицы товара, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Таблица № 3

Определить, какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.

Исходную информацию можно представить в виде векторов и матрицы:

А = (аij) = - матрица затрат ресурсов на единицу продукции. В = - вектор запаса ресурсов сырья, рабочей силы и оборудования. Р = - вектор прибыли от единицы товара 1, 2, 3. Варианты:

А =

В =

Р =

Информацию записать в виде таблицы № 3. построить модель. Решить симплексным методом. Проанализировать полученный результат.

Задание №15. Графический метод. Постановка задачи: для изготовления двух видов продукции имеются три вида ресурсов, объемы которых ограничены величинами b₁, b₂, b₃ соответственно. Расход i -го вида ресурса на изготовление одной единицы j -го вида продукции равен a_ij, i=1, 2, 3, j=1, 2. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен числом x^*₁ и x^*₂ единиц, а прибыль, получаемая от реализации одной единицы изготовленной продукции равна c₁ и c₂ соответственно. Данные задачи могут быть представлены в матрично-векторном виде

A = , b = , x^* = (), c = (c₁; c₂), или в форме таблицы:

Номер ресурса	Объем ресурса (запас)	Номер продукции
	b1
	b2
	b3
Ограничения по выпуску	x*1	x*2
Прибыль	c1	c2

Требуется составить план выпуска продукции (число единиц продукции по каждому виду), удовлетворяющий принятым ограничениям и приносящий максимум прибыли после реализации выпущенной продукции.

Варианты:

1.A = , b = , x* = (), c = (3; 6).

2.A = , b = , x* = (), c = (1; 8).

Задание № 16. Транспортная задача.

Постановка задачи: на складах А_1, А₂, А₃ имеются запасы продукции в количествах 180, 300, 120 т. соответственно. Потребители В₁, В₂, В₃ должны получить эту продукцию в количествах 110, 350, 140 т. соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т. продукции заданы матрицей С (ден. ед.)

С=