Геометрическое представление разделения каналов

Ансамбль сообщений i-го источника образует многомерное пространство сообщений , размерность которого , где

-верхняя частота спектра сообщений.

Канальный передатчик согласно оператору осуществляет отображение радиусов-векторов в векторы образуя пространство канальных сигналов

Рис. 4.3

Для возможности полного разделения сигналов подпространства … не должны пересекаться.

В зависимости от вида модуляции размерность пространства канальных сигналов m_{ψ i} может оказаться равной или большей размерности пространства сообщений m_пi, т.е.

, где .

Например, при АМ , при широкополосной частотной и импульсной модуляции - .

Операция преобразования осуществляется независимо в каждом из N каналов.

Сомножество линейных сообщений

образует пространство канальных сигналов . Пространства … называются подпространствами. Линейное суммирование подпространств сопровождается соответствующим увеличением числа измерений пространства , размерность равна сумме размерностей …

.

Разделение сигналов возможно только в том случае, если выполняется это условие, т.е. когда размерность пространства канальных сигналов равна или превышает сумму размерностей подпространств .

Оператор М отображает векторы пространства в векторы S(t) пространства сигналов Z. Приемник выполняет обратное преобразование пространства сигналов Z. В пространстве линейных сигналов . Необходимо, чтобы подпространства … не пересекались нив одной точке, за исключением начала координат, иначе образуется гиперповерхность ∆ P принадлежащая одновременно двум соседним подпространствам, при этом каналы невозможно различить. Т.е. для различения канальных сигналов подпространства не должны пересекаться нигде (кроме точки 0, 0).

Процесс разделения сигналов с геометрической точки зрения состоит в определении сигнала (t) по заданному и известным направлениям подпространств величина (t) полученная в результате проектирования радиус вектора на подпространство в таком направлении, чтобы его проекции на подпространства дали нули. В косоугольной системе координат эта операция взывает затруднение, в ортогональной проще (см. рис. 4.4, где N=3)

Рис. 4.4

Из векторного анализа известно, что сумма линейнозависимых векторов всегда отличается от нуля если эти векторы не равны нулю, т.е. .

=0 только если и наоборот.

Векторы линейно зависимы, если существует такая линейная комбинации векторов , что не при всех ; =0.

Разложение вектора по линейнонезависимым направлениям в многоканальной системе есть не что иное, как разделение каналов. Условие линейной независимости распространяется и на многомерные пространства.

Таким образом, для разделения сигналов на приемной стороне необходимо чтобы они были линейнонезависимыми функциями времени.

Этот результат относится к m- мерному пространству с косоугольной системой координат и в ортогональной системе координат , отсюда следует, что в качестве канальных сигналов можно использовать ортогональные функции времени, которые удовлетворяют вышеприведенному условию.

Требование ортогональности более строгое и достаточное для осуществления разделения.

В зависимости от построения базиса многомерного пространства все много канальные системы с линейным разделением каналов разделяются на 2 группы:

1) ортогональны на интервале , который включает в себя целое число периодов;

2) Колебания, частотные спектры которые не перекрываются (в системах с ЧРК) разделяются с помощью фильтров;

3) Колебания, которые не перекрываются во времени (в системах с ВРК) разделение с помощью стробирующих устройств

4) ортогональные полиномиальные функции Лагранжа, Чебышева, Якоби, Лаггера и Эрмита

Если учесть, что реальные сигналы существуют на конечном интервале времени 0 ≤ t ≤ T и обладают неограниченным спектром, то сомножество таких функций образует бесконечное пространство, в котором, по аналогии, вводится скалярное произведение функций

,

Причем при i=j, а в остальных случаях равно 0. В общем виде критерий линейной независимости функций определенных на интервале 0 ≤ t ≤ T дается теоремой ГРАММА:

Для того чтобы функции были линейнонезависимы, необходимо, чтобы был отличен от нуля определитель матрицы , элементы которой определены соотношением

,

.

Биоортогональные базисы

удовлетворяют условию

.

Векторы образуют косоугольную систему координат. Каждый вектор одного базиса ортогонален к N-I векторам взаимного базиса, а с N-м образует острый угол.

В отличие от ортогональных базисов и при угле между векторами α ≠ 0 (острый угол).

Равенство единице достигается соответствующей нормировкой.

Если для заданной косоугольной системы координат найдены взаимные базисные векторы, то процесс отыскания проекции математически сводиться к вычислению скалярного произведения вида:

.

Так как все члены, кроме , равны 0, то при этом происходит не только разделение канальных сигналов, но и их демодуляция, заложенная в величине .

Итак, суть разделения сводится к вычислению биортогональных базисных векторов по известному базису и к вычислению скалярного произведения .

Функциональная схема многоканальной системы при линейнонезависимых неортогональных канальных сигналах имеет вид, представленный на рис. 4.5.

Рис. 4.5

При наличии аддитивных помех

Подставим в ранее полученную формулу скалярное произведение функций

,

тогда колебания на выходе К-го канала

.

Подставим сумму

.

или

учтено условие и что биоортогональна.

Генератор линейнонезависимых функций периодически с интервалом на протяжении 0 ≤ t ≤ T одновременно на всех N выходах вырабатывает единичные функции и сигнал синхронизации который поступает в квантователи и в суммирующее устройство.

На выходе квантователей появилось напряжения, пропорциональные мгновенным значениям (рис. 4.6)

Рис. 4.6

Далее в каждом канале перемножители , затем все суммируется и поступает в линию связи.

В устройстве разделения каналов имеется генератор биортогональных функций которые называются весовыми функциями. Принятое –умножается на и интегрируется (см. формулу) генератор весовых функций запускается сигналом синхронизации .По истечении времени интегрирования на выходах интеграторов получаются напряжения пропорциональные мгновенным значениям передаваемых событий, которые были зафиксированы в квантователях в момент отсчета. Далее благодаря сглаживающим факторам с полосой 0- получаем информацию в первоначальной аналоговой форме. После отсчета осуществляется сброс напряжений накопленных интеграторами.