Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Границя многочлена.

Обчислити .

Використовуючи теорему 2, отримуємо .

Таким чином, для обчислення границі многочлена f(x) при x→ x0 достатньо замість змінної х поставити значення х0 до якого вона прямує та виконати відповідні дії, тобто .

2). Границя відношення двох многочленів.

.

а). Якщо g(x0)≠ 0, можна використати теорему про границю частки.

x→ x0
б). Якщо g(x0)=0, то теорему про границю частки використати не можна. Тоді якщо -то маємо невизначеність . В цьому випадку можна обчислити розкладанням многочленів f(x) і g(x) на множники або заміною y=x-x0.

 
Приклад. Обчислити .

. Так як х≠ 2, маємо .

3). Граничне відношення многочленів.

при х→ ∞.

 
Приклад. Обчислити .

.


 

4). Границі деяких ірраціональних функцій.

Для обчислення (3)

X→ -1
Наприклад, lim = = =3.

Приклад. Обчислити .

Так як , то теорему про границю частки використати не можна. Помножимо чисельник та знаменник на вираз, спряжений до знаменника, отримаємо

x→ 0
x→ 0
x→ 0
lim lim =lim = =-8.

 

Дуже часто при обчисленні границь використовують «чудові» границі.

I-ша «чудова» границя (4)

II-га «чудова» границя (5)
Приклад. Обчислити .
Приклад. Обчислити .

.


 

Питання для контролю вивченого матеріалу

1.

Як прочитати запис ? Дайте означення границі функції в точці.

2.

Дайте означення границі функції на нескінченності. Поясніть основний прийом розкриття невизначеності на прикладі .

3. Сформулюйте та запишіть першу та другу чудові границі.

 

Література

1.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие.-2-изд., перераб. и дополненное – М.: Наука, 1990 – 576с.

2.Соколенко О.І. Вища математика. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002 – 431с.

3.Лисичкин В.Т., Соловейчик М.Л. Математика: учебное пособие для техникумов. – М.: Вища школа, 1991. – 480с.: ил.

4.Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум. –К.: Вища школа, 1991 – 407с.: іл.


 

Тема 2: Точки розриву. Асимптоти.

 

1. Неперервність функції. Точки розриву.

2. Асимптоти.

 

Короткі теоретичні відомості

Функція f називається неперервною в точці х0, якщо , тобто якщо виконуються умови: а); ; б)існує скінчена границя в точці х0; в) ця границя дорівнює значенню функції в точці х0.

При порушенні хоча б однієї з цих умов функція називається розривною в точці , а сама ця точка називається точкою розриву.

Точка х0 називається точкою розриву першого роду, якщо в ній існують скінчені односторонні границі

та , а якщо хоч одна з границь є нескінченою або взагалі не існує, то - другого роду.

Пряма називається асимптотою кривої або графіка функції y=f(x), якщо відстань від точки М(x; f(x)) кривої до цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки М в нескінченність.

Якщо , то пряма х=х0 називається вертикальною асимптотою кривої y=f(x). При цьому розглянута границя може бути односторонньою, а під символом слід розуміти + або - .

Якщо , то пряма називається похилою асимптотою кривої . При цьому якщо k=0, то асимптота називається горизонтальною.

Числа k і b обчислюють за формулами

(1)

При цьому вказані границі можуть бути різними, при (для правої похилої асимптоти)і при (для лівої похилої асимптоти).

Приклад. Знайти асимптоти кривої .

Оскільки , то х=4 є вертикальною асимптотою.

Знайдемо похилу асимптоту. Користуючись формулами (1), дістанемо

Отже, пряма y=2x+8 є похилою асимптотою.

 

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Дайте означення неперервної функції.

2. Що таке точка розриву? Які вони бувають?

3. Що називається асимптотою кривої?

4. Які бувають асимптоти та як вони знаходяться?

5. Знайти асимптоти кривої .

 

Література

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д., Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1990-576с.: ил.

2. Соколенко О.И Вища математика: Підручник -К.: Видавничий центр „Академія”, 2002-432с.

3. Дюженкова Л.І.Носаль Т.В. Вища математика: Практикум: Навч. посібник.-К.: Вища шк., 1991-407с.: іл.


 

Розділ 4. Диференціальне числення функції однієї змінної

Тема 1: Геометричний і фізичний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до графіка функції.

 

1. Похідна функції.

2. Геометричний зміст похідної.

3. Фізичний (механічний) зміст похідної.

4. Рівняння дотичної та нормалі до кривої.

 

Короткі теоретичні відомості

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки х0

Означення 1. Похідною функції f(x) в точці х0 називається границя відношення приросту функції f(x0 ) до приросту аргументу х при х→ 0, якщо ця границя існує, і позначається .

Отже, = (1)

Означення 2. Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції.

Означення 3. Функція, яка має похідну в точці х0 , називається диференційованою в цій точці. Функція, яка має похідну в кожній точці інтервалу (а; в), називається диференційованою на цьому інтервалі.

Теорема 1. Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0 , то вона неперервна в цій точці.

Мал. 1

 

 

 
 
 


Означення 4. Дотичною до кривої L в точці називається граничне положення січної М0М (якщо таке граничне положення існує).

Геометричний зміст похідної: Похідна функції f(x) в точці х0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка даної функції в його точці у абсцисою х0.

Якщо S=S(t) – функція, що описує закон руху матеріальної точки, то миттєва швидкість v в момент часу t дорівнює похідній, шляху за часом (механічний зміст похідної), тобто . Прискорення а є похідною швидкості за часом, тобто .

Рівняння дотичної до кривої L в точці (x0, f(x0)) запишемо як рівняння прямої, що проходить через точку (х0 , f(x0)) та має кутовий коефіцієнт , тобто

(2)

Означення 5. Пряма М0N, перпендикулярна дотичній М0Т в точці М0, називається нормаллю до кривої L в точці М0 (див. мал. 3).

Так як кутовий коефіцієнт нормалі дорівнює , то рівняння нормалі до кривої L в точці (х0; f(x0)) має вигляд.

(3)

Приклад: Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в її точці з абсцисою х0=2.

Знаходимо ,

Підставивши знайдені значення та в рівняння (2) та (3), знайдемо шукані рівняння дотичної , або та нормалі , або .

 

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Дайте означення похідної.

2. Яка функція називається диференційованою в точці та на відрізку?

3. Сформулюйте залежність між неперервністю та диференційованістю функції.

4. Який геометричний зміст похідної?

5. В чому полягає механічний зміст похідної?

6. Як знайти миттєву швидкість прямолінійного нерівномірного руху?

7. Як обчислити кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в даній точці?

8. Який вигляд мають рівняння дотичної та нормалі до кривої?

 

Література

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. – 2 изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1990 – 576с.: ил.

2. Соколенко О.І. Вища математика. – К.: Видавничий центр „Академія”, 2002. – 431с.

3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. – М.: Вища школа, 1991. – 480с.: ил.

4. Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика: Практикум. – К.: Вища школа, 1991. – 407с.: іл.

 

 


 

Тема 2: Складена функція та її похідна.

1. Поняття складеної функції.

2. Похідна складеної функції.

 

Короткі теоретичні відомості

Означення. Функція, яка задається у вигляді , називається складеною функцією, складеною із функцій та .

Складену функцію часто записують у вигляді , де .

При цьому аргумент називається незалежною змінною, а - проміжним аргументом.

Нехай задано складену функцію , де .

Теорема. Якщо функція диференційована в деякій точці, а функція визначена на множині значень функції та диференційована в точці , то складена функція в даній точці має похідну, яка знаходиться за формулою

(1).

Приклад. Знайти похідну функції .

° Ця функція є складеною степеневою функцією, а саме , де . Тому

. •

 

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Яка функція називається складною?

2. Як знайти похідну складної функції?

3. Продиференціювати функцію .


 

Література

1. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1990. – 576 с.: ил.

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1991. – 480 с.: ил.

3. Дюженкова Л.І., Носаль Т.В.: Вища математика: Практикум. – К.: Вища школа, 1991. – 407 с.: іл.

4. Соколенко О.І. Вища математика. – К.: Видавничий центр „Академія”. 2002, - 431с.

Тема 3: Похідні і диференціали вищих порядків.

 

1. Поняття похідних вищих порядків.

2.Поняття диференціалів вищих порядків.

 

Короткі теоретичні відомості.

1. Якщо функція диференційована, то її похідна є функцією x. Якщо ця функція диференційована, то її похідна називається другою похідною, або похідною другого порядку функції , і позначається або :

При цьому називається першою похідною або похідною першого порядку функції .

Похідна другої похідної функції називається третьою похідною або похідною третього порядку даної функції і позначається або :

Похідною n-го порядку функції називається перша похідна похідної (n-1)-го порядку даної функції і позначається або :

Похідна порядку вище першого називається похідною вищого порядку.

Приклад 1.

Знайти похідну 4-го порядку функції:

а)

б)

Розв’язання.

1)Знайдемо послідовно 1, 2, 3 і 4-у похідні:

а)

б)

Приклад 2.

Знайти похідну n-го порядку функції

Розв’язання.

1) Знайдемо послідовно 1, 2, 3 похідні:

2) По аналогії знаходимо:

2. Диференціал від диференціала даної функції називається її другим диференціалом (або диференціалом другого порядку) і позначається і

Аналогічно вводяться поняття диференціалів 3, 4-го порядку і т.і.

Взагалі, п-м диференціалом (або диференціалом n-го порядку) функції називається диференціал від її (n-1)-го диференціала.

Диференціал n-го порядку функції позначається або

Приклад 3.

Знайти диференціал 4-го порядку функції

Розв’язання.

Знайдемо послідовно 1, 2, 3, 4-й диференціали функції:

 

Питання для контролю вивченого матеріалу.

1. Що називається другою похідною?

2. Що називається третьою похідною?

3. Що називається n-ою похідною?

4. Що називається похідною вищого порядку?

5. Що називається другим диференціалом функції?

6. Що називається п -м диференціалом функції?

7. Знайти третю похідну функції

8. Знайти другий диференціал функції .

 

 

Література:

1. Л. І. Дюженкова, Т. В. Колесник, М. Я. Лященко, М. І. Шкіль. Математичний аналіз у задачах і прикладах. с. 150-156.


Тема 4: Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх геометрична ілюстрація та застосування. Правило Лопіталя.

 

1. Теореми Ролля, Лагранжа, Коші, їх геометрична ілюстрація.

2. Правило Лопіталя.

 

Короткі теоретичні відомості

 

Теорема 1. (теорема Ферма). Якщо функція f, визначена в деякому околі точки , набуває в цій точці найменшого(найбільшого) в околі значення і має в точці похідну, то ця похідна дорівнює нулю.

Теорема 2. (теорема Ролля). Якщо функція f неперервна на відрізку [a; b], диференційована в інтервалі (а; b) й f(a)=f(b), то існує принаймні одна точка є (а; b) така, що f`(c)=0.

Теорема3. (теорема Лагранжа). Якщо функція f неперервна на відрізку [a; b] і диференційована в інтервалі (а; b), то існує принаймні одна точка є (а; b) така, що

(1)

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в тому, що на дузі, яка є графіком функції f, що задовольняє всі умови теореми Лагранжа, знайдеться принаймні одна точка М(с; f(с)), дотична в якій паралельна хорді. Формула (1) називається формулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів.

 

Теорема 4. (теорема Коші). Якщо функції та неперервні на відрізку [a; b] і диференційовані в інтервалі (а; b), причому в кожній точці інтервалу (а; b), то існує принаймні одна точка є (а; b) така, що

(2)

Формула (2) називається формулою Коші. Теорема Лагранжа є окремим випадком теореми Коші. Щоб дістати формулу Лагранжа з формули Коші, досить покласти g(x)=x.

У формулі (2) зовсім не обов’язково вважати, що b> a.

Наслідком теореми Коші є правило Лопіталя – теорема, яка дає можливість обчислювати границі, пов’язані з розкриттям невизначеностей виду (перше правило) (друге правило). При цьому досить складні задачі на обчислювання границь зводяться до більш простих – обчислення похідних.

Теорема. Нехай функції f і g диференційовані проколотому околі 0*(x0) точки x0 (g`(x)¹ 0 " xє0*(x0)), одночасно є нескінченно малим або нескінченно великим при x®x0 (x0Î R) або x0=±¥) і, крім того, існує скінчена або нескінченна границя відношення при x®x0.

Тоді існує також і границя відношення , причому

(3)

Правило Лопіталя справедливе і для односторонніх границь. Якщо не існує , то правило Лопіталя не можна застосовувати, але шукана границя може існувати. Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.

Приклад 1. Обчислити границю .

Маємо невизначеність виду . Застосовуючи перше правило Лопіталя (формула (3)), дістанемо .

Приклад 2. Обчислити границю .

Маємо невизначеність виду . За другим правилом Лопіталя .

Приклад 3. Обчислити границю .

Маємо невизначеність . Зведемо її до невизначеності виду , записавши вираз у вигляді дробу, а потім застосовуємо друге правило Лопіталя.

Дістаємо .

 

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. Сформулюйте теореми Ролля, Лагранжа, Коші.

2. В чому полягає геометричний зміст теореми Лагранжа?

3. Сформулюйте правило Лопіталя.

4. При якій умові правило Лопіталя не можна застосовувати, але шукана границя може існувати?

5. Обчислити границі:

а)

б) ;

в) .

 

Література

1. Соколенко О.І. Вища математика. -К: Видавничий центр „Академія”, 2002-431с.

2. Дюженкова Л.І, Носаль Т.В. Вища математика: Практикум. -К.: Вища школа, 1991-407с.: іл.

 


 

Тема 5: Задачі на максимум та мінімум.

 

1. Найбільше та найменше значення функцій на відрізку.

2. Задачі на максимум та мінімум.

 

Короткі теоретичні відомості

На практиці часто розглядаються задачі, пов’язані із знаходженням найбільшого чи найменшого значення з усіх тих значень, які функція приймає на деякому відрізку.

Нехай функція y=f(x), , неперервна на відрізку [a; b], диференційована в усіх точках цього відрізка та має на ньому скінчену кількість критичних точок першого роду; треба знайти її найбільшу та найменше значення на відрізку [a; b].

Якщо дана функція монотонна на [a; b] то найбільші та найменші значення досягаються на кінцях цього відрізку, а саме:

1) якщо функція зростаюча, то - найменше значення і - найбільше значення;

2) якщо функція - спадна, то - найбільше значення і - найменше значення.

Якщо функція не є монотонною то свого найбільшого значення на [a; b] вона досягає або в одній із точок максимуму, або на одному із кінців цього відрізку. Аналогічно найменшого значення на [a; b] функція досягає або в одній із точок мінімуму, або на одному з кінців відрізка [a; b]. Таким чином, щоб знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку [a; b], треба:

1) знайти критичні точки першого роду даної функції;

2) обчислити значення функції в усіх критичних точках, які належать інтервалу (a; b) та на кінцях відрізка [a; b];

3) із отриманих значень вибрати найбільше та найменше.

 

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-2; 3].

Знаходимо критичні точки даної функції: звідки x1=-1, x2=0, x3=1.

Знаходимо: f(-2)=13, f(-1)=4, f(0)=5, f(1)=4, f(3)=68.

Отже, .

Задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень функцій називаються також задачами на максимум та мінімум.

Задача №1.

Знайти число, яке додавши зі своїм квадратом, дає найменшу суму.

Позначимо шукане число через . Тоді треба знайти таке , при якому функція має мінімум. Знайдемо таке значення :

тобто при досягається мінімум. Отже, шукане число дорівнює .

Задача №2.

Який із прямокутників з периметром 2p має найбільшу площу?

Прямокутників із периметром 2p існує нескінченна множина. Наша задача-виділити із цієї множини прямокутник, площа якого буде найбільшою.

Якщо через х позначити довжину однієї з сторін прямокутника, то довжина другої сторони дорівнює р-х, а площа s такого прямокутника дорівнює x(p-x).

Знайдемо критичні точки функції Так як то - критична точка цієї функції. На функція S зростає, а на спадає. Отже, при площа S буде найбільшою.

Питання для контролю вивченого матеріалу

1. В чому різниця між знаходженням максимуму та мінімуму функції та знаходженням її найбільшого та найменшого значення?

2. Як шукається найбільше та найменше значення функції на даному відрізку? знайти ці значення для функції на відрізку[-1; 4].

3. Знайти додатне число х, щоб різниця х-х2 була найбільшою.

 

Література

1. Валуцэ И. И., Дилигул Г. Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1990-576с.: ил.

2. Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа: Учеб. Ч.1./ под ред. Яковлева Г.М. -М.: Наука. Гл. ряд.физ.мат.лит., 1987.

3. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. пособие для техникумов.- М.: Высшая школа, 1991.-480с.


 

 
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Этнические процессы в современном мире: политический аспект | 
Поделиться с друзьями:
mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2025 год. (0.065 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал