Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремится к x₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем x₀ (слева от х₀), большим, чем х_о (справа от х_о), или колеблясь около точки x₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х_о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у=ƒ (х) слева в точке х_о, если для любого число ε > 0 существует число δ =δ (ε)> 0 такое, что при х є (х₀-δ; x_o), выполняется неравенство |ƒ (х)-А|< ε. Предел слева записывают так: limƒ (х)=А при х–> х₀-0 или коротко: ƒ (х_о-0)=А₁ (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ (х_о+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁=А₂.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ (х₀-0) и ƒ (х₀+0) и они равны, то существует предел и А=ƒ (х₀-0).

Если же А₁¹ А₂, то етот придел не существует.

Предел функции при х ® ∞

Пусть функция у=ƒ (х) определена в промежутке (-∞; ∞). Число А называется пределом функции ƒ (х) при х→ ∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М=М()> 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |х|> М выполняется неравенство |ƒ (х)-А|< ε. Коротко это определение можно записать так:

Геометрический смысл этого определения таков: для " ε > 0 $ М> 0, что при х є(-∞; -М) или х є(М; +∞) соответствующие значения функции ƒ (х) попадают в ε -окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε (см. рис. 112).