Пример выполнения задания 1

На плоскости даны точки А(-5; -6), В(11; 6), С(0; 6). Выполним чертеж треугольника:

а) длину стороны ВС найдем как длину вектора :

.

Уравнение стороны ВС можно найти как уравнение прямой, проходящей через две точки:

В нашем случае

ВС: ,

или - каноническое уравнение.

Замечание. Форма записи канонического уравнения является условной и в ней не деление на ноль, а отношение. Такую запись следует читать следующим образом: х так относится к единице, как (y-6) относится к нулю.

Из полученного канонического уравнения выведем все остальные уравнения:

- параметрические уравнения;

- общее уравнение;

- уравнение с угловым коэффициентом, k=0 - угловой коэффициент.

Так как коэффициент перед переменной х в общем уравнении равен 0, то уравнения в отрезках для данной прямой не существует.

б) косинус угла А найдем как косинус угла между векторами и .

Находим

т.к.

то в нашем случае

в) уравнение искомой прямой можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку , параллельно заданному вектору :

.

В нашем случае

или

г) длину высоты к стороне ВС можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС. Для этого общее уравнение прямой ВС приведем к нормальному уравнению.

Т.к. - нормальный вектор прямой ВС, то при делении общего уравнения прямой на получаем - нормальное уравнение прямой ВС. Чтобы найти расстояние от точки до прямой надо координаты этой точки подставить в нормальное уравнение прямой, а затем найти модуль полученного числа. В нашем случае получаем

.

Уравнение высоты к стороне ВС можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному нормальному вектору :

.

Искомая высота проходит через точку А(-5; -6) и имеет нормальный вектор т.е. уравнение высоты

.

д) найдем основание медианы М - середину стороны ВС:

т.е. .

Уравнение медианы АМ можно найти как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А и М:

.

В нашем случае

АМ:

, .

е) как известно, центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Т.о. к двум сторонам надо построить серединные перпендикуляры и найти точку их пересечения - центр описанной около треугольника окружности.

Середина стороны ВС есть точка , вектор - нормальный вектор серединного перпендикуляра к стороне ВС, т.е. уравнение серединного перпендикуляра имеет вид

Аналогично - середины стороны АС, - нормальный вектор серединного перпендикуляра к АС и его уравнение имеет вид

Найдем точку пересечения серединных перпендикуляров, т.е. решим систему

Откуда , т.о. - центр описанной около треугольника АВС окружности.

Чтобы найти радиус R описанной окружности, достаточно найти расстояние от центра до любой из вершин треугольника. Например, рассмотрим точки О и А, тогда

,

ж) в пункте г) уже была найдена длина высоты h к стороне ВС, тогда площадь треугольника АВС можно найти как полупроизведение основания ВС и высоты h, т.е.

з) как известно, центр тяжести H треугольника лежит на пересечении его медиан. Но можно сделать более простым способом, а именно, как среднее арифметическое соответствующих координат вершин треугольника, т.е.

Получили Н(2, 2) - центр тяжести треугольника.