Линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра

• Геометрические векторы. Линейные операции над векторами

• Понятие линейного пространства

• Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства

• Линейная зависимость геометрических векторов

• Размерность и базис ЛП

• Линейные операции в координатной форме

• Проекция вектора на ось. Связь координат вектора и координат точки

• Скалярное произведение двух векторов

• Понятие о евклидовом пространстве

• Определители второго и третьего порядков, их свойства

• Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства, координатное представление, применение в физике и механике.

Прямая и плоскость

• Прямая на плоскости как алгебраическая линия первого порядка. Основные виды уравнений прямой на плоскости

• Плоскость как алгебраическая поверхность первого порядка. Основные виды уравнений плоскости

• Прямая в пространстве. Основные способы задания прямой в пространстве

• Взаимное расположение двух прямых в пространстве

• Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Кривые второго порядка

• Общее уравнение кривой второго порядка

• Эллипс

• Гипербола

• Директориальное свойство эллипса и гиперболы

• Парабола

• Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

• Канонические формы линий второго порядка

Поверхности второго порядка

• Общее уравнение поверхности второго порядка

• Канонические уравнения основных алгебраических поверхностей второго порядка

• Исследование формы основных поверхностей методом сечений

Линейная алгебра

Матрицы и определители

• Операции над матрицами

• Определители n -ого порядка

• Обратная матрица

• Ранг матрицы

Системы линейных уравнений

• Основные понятия

• Критерий совместности системы линейных уравнений

• Правило Крамера

• Свойства решений системы линейных однородных уравнений

• Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений

• Общие свойства множества решений системы линейный уравнений

Линейные операторы, действующие в произвольном линейном пространстве

• Общее определение оператора

• Определение линейного оператора

• Матричная запись линейного оператора

• Преобразование координат вектора при преобразовании базиса

• Преобразование координат матрицы линейного оператора при преобразовании базиса

• Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

• Характеристический многочлен

Линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве

• Определение евклидова пространства. Основные метрические соотношения

• Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства. Процесс ортогонализации базиса

• Линейные операторы в евклидовом пространстве

• Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряженного оператора

• Ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного линейного оператора в евклидовом пространстве