Степенные ряды в комплексной области

Степенным рядом называется ряд

, , ,

Если

справедлива теорема Абеля.

Если , то данный ряд будет сходиться и в круге и равномерно внутри этого круга.

Число - называется радиусом сходимости степенного круга - сходится, а при - расходится.

Поскольку по теореме Абеля ряд сходится равномерно , то его можно интегрировать и дифференцировать почленно. Дифференцировать можно бесконечное число раз.

34. Ряд Лорана

Всякая аналитическая в кольце () функция может быть разложена в этом кольце в ряд , коэффициенты которого определяются формулой (), где L – произвольная окружность в с центром в точке , лежащая внутри данного кольца.

Ряд Лорана для функции состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т.е. ряд называется правильной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга .

Вторая часть ряда Лорана , т.е. ряд называется главной частью ряда Лорана; этот ряд сходится в аналитической функции вне круга .

35.Особые точки аналитических функций.

Точка называется нулем функции , если . В этом случае разложение функции в окрестности точки в степенной ряд не содержит нулевого члена, т.к. . Если не только , но , а , то разложение функции в окрестности точки имеет вид , а точка называется нулем кратности m (или нулем m-го порядка). Если m=1, то называется простым нулем.

Особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.

Особая точка функции называется изолированной, если в некоторой окрестности ее функция не имеет других особых точек.

Если - изолированная особая точка функции , то существует такое число , что в кольце . Функция будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

При этом возможны следующие случаи:

1) Ряд Лорана не содержит главной части, т.е. в ряде нет членов с отрицательным показателем. В этом случае точка называется устранимой особой точкой функции .

2) Разложение Лорана содержит в своей части конечное число членов, т.е. в ряде есть коечное число членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется полюсом функции .

3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т.е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется существенно особой точкой функции .

36. Вычеты и их вычисление.

Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется комплексное число, равное значению интеграла , взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке , лежащей в области аналитичности функции (т.е. в кольце ).

Обозначается вычет функции в изолированной области особой точке символом Res или Res . Таким образом, Res

Если в формуле () положить n = -1, то получим или Res .

Полюс Пусть точка является простым полюсом функции .Тогда ряд Лорана для функции в окрестности точки имеет вид .Отсюда .

Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при , получаем Res

Res

Пусть точка является полюсом m-го порядка функции . Тогда лорановское разложение функции в окрестности точки имеет вид . Отсюда .

Дифференцируя последнее равенство (m-1) раз, получим:

Переходя здесь к пределу при , получаем Res .

37. Основная теорема Коши о вычетах.

Теорема(Коши) Если функция является аналитической в замкнутой области , ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек (), лежащих внутри области D, то .

38. Вычисление несобственных интегралов.

- несобственный интеграл.

Теорема Пусть аналитична в области (в верхней полуплоскости) за исключением точки и непрерывна на оси OX.

Пусть несобственный интеграл - сходится, а предел

При выполнении этих условий справедлива следующая формула

.

Лемма Жордана Пусть функция аналитична в области всюду, за исключением конечного числа особых точек, если на окружности достаточно большого радиуса

тогда при

Следствие из леммы Жордана:

1)

2)

39. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.

- определенный интеграл

40. Определение преобразования Лапласа.

Изображением оригинала называется функция комплексного переменного , определяемая интегралом .

Операцию перехода от оригинала к изображению называют преобразованием Лапласа.

41. Свойства оригинала.

Функция называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) при

2) - кусочно-непрерывная при , т.е. она непрерывна или имеет точки разрыва 1-го рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.

3) Существуют такие числа и , что для всех t выполняется неравенство , т.е. при возрастании t функция может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста .

42. Теорема линейности, смещения, подобия.

Линейной комбинацией оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т.е. если , и - постоянные числа, то

1 Используя свойства интеграла, находим

<

Если , , то , т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

1 По формуле имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирования).<

Если , , то , т.е. умножения оригинала на функцию влечет за собой смещение переменной .

1В силу формулы имеем

<

43. Дифференцирование оригинала.

Если и функции являются оригиналами, то

1По определению изображения находим

Итак, . Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производно :

Аналогично найдем изображение третьей производной :

.

Применяя формулу раз, получим формулу .<

44. Интегрирование оригинала.

Если , то , т.е. интегрирование оригинала от 0 до t соответствует деление его изображения на .

1 Функция является оригиналом (можно проверить). Пусть . Тогда по свойству дифференцирования оригинала имеем (так как ). А так как , то . Отсюда , т.е. <

45. Теорема запаздывания.

Если , , то , т.е. запаздывание оригинала на положительную величину приводит к уменьшению изображения оригинала без запаздывания на .

1 Положив , получим <

46. Дифференцирование изображения.

Если , то

т.е. дифференцирование изображения соответствует умножение его оригинала на .

47. Интегрирование изображения.

Если и интеграл сходится, то , т.е интегрирование изображения от до соответствует деление его оригинала на .

1Используя формулу и изменяя порядок интегрирования, получаем

<

48. Свертка оригиналов. Интеграл Дюамеля.

Если и также является оригиналом, то .

Формула называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.

49. Формула Меллина.

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид , где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл вычисляется по формуле .

50. Решение дифференциальных уравнений операционным методом.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям где - заданные числа.

Будем считать, что искомая функция вместе с ее рассматриваемыми производными и функция являются оригиналами.

Пусть и . Пользуясь свойствами дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении от оригиналов к изображениям:

.

Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно Y:

т.е. , где и - алгебраические многочлены от степени и соответственно.

Из последнего уравнения находим .

Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения . Оно имеет более простой вид, если все начальные условия равны нулю, т.е .

В это случае .

51. Применение формулы Дюамеля при решении задачи Коши.

Рассмотрим дополнительную задачу: