Параллельность и перпендикулярность в модели Клейна

С параллельностью ясно, а вот с ^ сложнее. Пусть АВ^СD, т.е. Ð АОD=Ð АОС=Ð СОВ=Ð ВОD. Рассмотрим этот круг на расширенной евклидовой плоскости (т.е. в проективной модели).

Теорема 1. АВ^ОD Û когда они изображаться хордами абсолюта, лежащими на проективных прямых, каждая из которых проходит через полюс другой.

Доказательство: Пусть СD^АВ. Ð АОС=Ð АОDÞ $ L - преобразование (проективное!), которое Ð АОС®Ð АОD Þ O = f(O), A = f(A) Þ B=f(B), D=f(C)- три точки прямой неподвижны Þ это гомологияÞ у нее есть центр Е касательная® в касательнуюÞ в неподвижной поляритете совпадает с этим L - преобразованием, через который проходит прямая ДС. Учитывая в поляритетеÞ ч.т.д.

Ü Пусть СД проходит через Е. Рассмотрим гомологию с центром в точке Е и осью АВ. Репер АСВО®проективный репер АДВОÞ Эта гомология на круге есть L- преобразование, т.е. перепереводит в себяÞ Ð АОС®Ð АОД.Т.е. Е-помос и значит все прямые делятся в том же отношений.

Теперь легко доказать теорему 2.

Th2 Две расходящие прямые имеют единственный общий ^.

Ясно, т.к. для каждой хорды единственный помос, а через две точки единственная прямая проходит - нет общего перпендикуляра. тоже нет.

§8 Расстояние на плоскости Лобачевского

Мы с вами уже говорили, что две фигуры равны, если $ L- преобразования которые одну фигуру переводят в другую, т.е. L- преобразования – есть движения плоскости Лобачевского. Но мы знаем, что движения должны сохранять какие-то расстояния. Что же понимать под расстоянием здесь? Эти самые L- преобразования сохраняют следующие отношения четырех точек прямой. Наверное, оно должно участвовать в формуле расстояний. Пусть А (х₁, у₁) и В (х₂, у₂). Прямая АВ пересекает окружность w в точках С (х₃, у₃) и D(х₄, у₄). Ясно, что (АВ, СD)= > 0

df1 под расстоянием на плоскости Лобачевского назовем число d= (сказать об аксиомах расстояния) или в координатах d=

Теперь мы можем найти расстояние между бесконечно близкими точками, т.е. линейный элемент: ds².

(х, у) (x+dx, y+dy).

(2) ds²=c , c> 0.

Рассматривая линейный элемент ds² как линейный элемент поверхности в

Евклидовом пространстве, выясним, что это за поверхность.

Можно воспользоваться формулой Гаусса, дающей выражения полной кривизны через коэффициенты I квадратичной формы и их производные, получаем k = -c.

Th Плоскость Лобачевского (гиперболическая плоскость) локально изометричные поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Не удивительно, ведь мы же знаем, что и там сумма углов геодезического треугольника < p. (a+b+g)-p=ks.

Наиболее известна – псевдосфера.

Т.к. отображение плоскости Лобачевского на поверхность отрицательной кривизны есть локальная изометрия, то прямые перейдут в геодезические, и значит геометрия прямых на поверхности отрицательной кривизны (т.е. в модели Бельтракт) есть геометрия геодезическая.

Замечание Доказано: что в трехмерном евклидовом пространстве не существует ни какой поверхности, которая своей внутренней геометрией представляла бы всю плоскость Лобачевского.

Книга: Мищенко, Фоменко (издание дифференциальной геометрии и топологии. Издательство МГУ, 1960г.)

§9 Интерпретация Пуанкаре

Рассмотрим открытую полуплоскость. Точками будем называть общие евклидовые точки. L прямыми полуокружности с центрами на границе и открытые лучи ^ границе.

А в качестве движений можно рассмотреть композиции инверсий относительно этих окружностей и отражения от лучей.

Тогда все аксиомы будут выполняться. Эту модель называют конформной моделью Пуанкаре.

Спроектируем круг Клейма х² + у² < 1 на полусферу х² + у² +z² = 1, z > 0.

Из т. л. о. о. на плоскость Oyz (получим модель Пуанкаре).

При первом проектировании точка (х, у)®(х, у, ) проектирующая прямая проходит через две точки (1, 0, 0) и

= = Ç х = 0

в точках = 0, = , =

+ Þ 1 Þ (1)

Пусть хорда в плере Клейна задается уравнением ах+ву+с=0, подставляем сюда (1), получаем: z^/> 0

При с+а¹ 0 это полуплоскость с центром на оси у при с+а=0 это луч^ оси оу (подставим (1) в формулу линейного элемента т.к. это является мерина §8). Вид линейного элемента - это отображение является конформным (сохранение углы)

А значит, модели изоморфны. Имеет место важная теорема:

Th Все модели геометрий Лобачевского одной размерности- изоморфны.

Поговорить о вязкости разных интерпретаций