Интегрирование аналитических функций

Если функция задана аналитически, то точнее работает метод Гаусса. Метод основан на том, что точность вычислений достигается за счёт выбора узлов интегрирования, т.е. на каждом интервале длиною , задаются и соответствующие веса . Сам интеграл на интервале равен:

.

Существуют таблицы для значений узлов и весов при различного числа точек внутри интервала.

В занятии 3 приводятся примеры программ интегрирования методом Гаусса аналитической функции по 2 и 6 узлам.

Два узла на интервале интегрировании

1 REM ---------------------- IntGauss 2 points ---------

5 DEF FNA (x) = SQR(2 * x + 1)

10 DIM x(6), Y(6), C(10): CLS

20 x(1) = 1 / SQR(3): x(2) = -x(1)

40 C(1) = 1: C(2) = C(1)

REM*******************************************

60 INPUT " N =", N

61 IF N = 0 THEN 200

62 A = 0: B = 1

70 GOSUB 100

80 PRINT " S ="; S

81 PRINT " Toch = 1.398717"

90 GOTO 40

100 H = (B - A) / N: A1 = A: B1 = A + H: S = 0

110 FOR I = 1 TO N

120 R = (A1 + B1) / 2: Q = (B1 - A1) / 2: S1 = 0

130 FOR J = 1 TO 2: S1 = S1 + C(J) * FNA(R + Q * x(J)): NEXT J

160 S = S + S1: A1 = B1: B1 = A1 + H: NEXT I

170 S = S * Q

190 RETURN

200 END

Шесть узлов на отрезке интегрирования:

1 REM *********** IntGauss 6 points **********

5 DEF FNA (x) = SQR(2 * x + 1)

10 DIM x(6), Y(6), C(10): CLS

20 x(1) =.932469: x(2) =.661209: x(3) =.238619

30 x(4) = -x(1): x(5) = -x(2): x(6) = -x(3)

40 C(1) =.171324: C(2) =.360762: C(3) =.467914

50 C(4) = C(1): C(5) = C(2): C(6) = C(3)

51 REM*******************************************

60 INPUT " N =", N

61 IF N < = 0 THEN 200

62 A = 0: B = 1

70 GOSUB 100

80 PRINT " S ="; S

81 PRINT " toch = 1.398717"

90 GOTO 40

100 H = (B - A) / N: A1 = A: B1 = A + H: S = 0

110 FOR I = 1 TO N

120 R = (A1 + B1) / 2: Q = (B1 - A1) / 2: S1 = 0

130 FOR J = 1 TO 6: S1 = S1 + C(J) * FNA(R + Q * x(J)): NEXT J

160 S = S + S1: A1 = B1: B1 = A1 + H: NEXT I

170 S = S * Q

190 RETURN

200 END