Вимоги до оформлення роботи

1. Робота оформляється на стандартних аркушах формату А4.

2. Робота має містити “Вступ”, “Список використаної літератури”, “Зміст”.

3. В тексті обов‘язково мають бути приведені вихідні розрахункові співвідношення та основні етапи розрахунків, кількісні дані фізичних величин необхідно наводити з одиницями вимірювання

4.Основні результати мають бути супроводжені коментарями та висновками.

5.Графічна частина роботи складається з:

схеми досліджуваного кола, викресленої в відповідності з вимогами стандартів; графіка часової залежності напруги на виході кола з відзначеними характерними точками;

графіків амплітудно – частотної та фазо – частотної характеристик досліджуваного кола, побудованих з дотриманням масштабу;

спектрограм (амплітудно – частотних та фазо – частотних спектрів) сигналів на вході та виході кола, побудованих з дотриманням масштабу.

6. Кожна частина роботи повинна містити оцінку отриманих результатів та висновки.

Таблиця 2.1

Таблиця 2.2

№	Е, В	Um, мВ	, мс	Т, мс	t0, мс	C, мкФ	L, Гн	R2, кОм	R, кОм
		0.1			2.5	1.5	-
		0.15			1.5		-
	0.5	0.2	2.5	7.5	2.5	2.5	-
	0.8	0.25					--
		0.1	1.25		1.25		-

Продовження таблиці 2.2

№	Е, В	Um, мВ	, мс	Т, мс	t0, мс	C, мкФ	L, Гн	R2, кОм	R, кОм
		0.15	3.5		1.75	-	0.5	0.2	0.5
		0.2	4.5		2.25	-	0.4	0.25	0.4
	2.5	0.25				-	0.3	0.4	0.8
	0.75	0.3	1.5		1.5	-	0.2	0.5	0.25
	0.5	0.2	2.75		2.75	-	0.1	0.1	0.3

1. 2.

3. 4.

5. Рис.2.1

1. 2.

3. 4.

5.

Рис. 2.2.

3. Завдання на роботу та методичні вказівки

3.1. Завдання №1

Визначити класичним методом реакцію кола на підключення джерела живлення. Побудувати графік функції , провести аналіз, визначити тривалість перехідного процесу.

Аналіз перехідних процесів класичним методом здійснюють в відповідності з наступним алгоритмом.

1.Скласти дифференційне рівняння післякомутаційного кола відносно вибранної величини. Для розгалужених кіл дифференційне рівняння отримують з системи рівнянь, складених в відповідності з законами Кірхгофа. Використання струму та напруги _, як шуканих величин, дає можливість просто и однозначно визначити початкові умови, що необхідно для розв‘язку рівняння, так як саме відносно цих величин сформульовані закони комутації.

В загальному випадку дифференційне рівняння має вид

.

2.Знайти примушену складову перехідного процесу, тобто значення шуканої величини по закінчені перехідних процесів (при ). Примушену складову розраховують будь-яким методом (способом), виходячи з того, що післякомутаційне коло знаходиться в стаціонарному режимі.

3.Скласти характеристичне рівняння, яке відповідає однорідному (з нульовою правою частиною) дифференційному рівнянню післякомутаційного кола (п.1), та знайти його корені . Число коренів визначається порядком кола, а значить і порядком дифференційного рівняння.

4. Визначити початкові умови, тобто значення шуканої величини в момент комутації () і, враховуючи формулу, яка визначає рішення дифференційного рівняння в загальному виді, розрахувати сталу інтегрування

5. Записати остаточний вираз для шуканої величини, визначити (якщо необхідно) інші, зв‘язані з нею величини, побудувати графіки, провести аналіз.

Приклад 3.1.

В колі, схема якого наведена на рис., визначити функцію u_R2(t) при наступних параметрах елементів: E=5 B; R1=300 Ом; R2=600 Ом; L=0.25 Гн.

Дифференційне рівняння післякомутаційного кола відносно струму через індуктивність і_L отримаємо шляхом очевидних перетворень системи рівнянь, складених в відповідності з законами Кірхгофа

Остаточно:

Характеристичне рівняння

його корінь

Примушена складова перехідного процесу:

Для розрахунку вільної складової

знайдемо сталу інтегрування А, враховуючи початкові умови.

На підставі аналізу докомутаційного кола, а також закону комутації маємо

і_L(0-)= і_L(0+)= і_L(0)=0.

Далі

Таким чином,

.

Остаточний вираз шуканої функції набуває виду

.

Напруга на виході кола

,

где - стала часу кола;

- еквівалентний опір.

Графік залежності u_вых(t) має вид

Таким чином, при підключенні до досліджуваного кола джерела сталої ерс напруга на виході кола змінюється по експоненті від 3.33 В в момент комутації до нуля по закінченні перехідних процесів.

В відповідності з загальноприйнятим припущенням про тривалість перехідних процесів

тривалість перехідного процесу в розглянутому колі складає приблизно

Цю ж задачу можна розв‘язати більш коротким шляхом, без складання дифференційного рівняння та його формального розв‘язку, в наступній послідовності.

Саме цей варіант розрахунків слід реалізувати при виконанні контрольної роботи.

Відповідно з сутністю класичного методу аналізу процесов, запишемо вираз для визначення шуканої величини в вигляді

та знайдемо складові.

1. Визначимо примушену складову, аналізуючи процеси в колі в режимі, що встановлюється по закінченні перехідних процесів

.

2. Визначимо величину шуканої функції в момент комутації

В

та з рівняння, що відповідає моменту комутації,

В,

знайдемо сталу інтегрування

В.

3. Корінь характеристичного рівняння можна визначити не тільки шляхом розв‘язку цього рівняння, але й іншими способами, зокрема, через сталу часу кола. Відомо, що стала часу кіл першого порядка, що містять індуктивність, визначається співвідношенням

,

де Rе – еквівалентний опір зовнішньої, по відношенню до індуктивності, частини схеми. Для данного випадку

Ом.

Тоді корінь характеристичного рівняння визначимо як

1/с.

3. Запишемо остаточний вираз для шуканої величини

В.

Легко переконатись, що результати, отримані в обох випадках, співпадають.

3.2. Завдання №2

Визначити операторним методом реакцію кола на підключення джерела живлення. Побудувати графік функції , провести аналіз. Порівняти отримані результати з результатами завдання №1.

Алгоритм аналіза перехідних процесів операторним методом передбачає наступні дії.

1. Скласти операторну схему заміщення післякомутаційного кола, враховуючи початкові умови.

2. Виходячи з характера схеми, степені її складності вибирають раціональний метод розрахунку операторних зображень шуканої величини і інших, зв‘язаних з нею, величин.

Зауважимо, що в більшості випадків доцільно визначати операторне зображення однієї, шуканої величини. Решту величин в таких випадках простіше обчислювати в формі оригіналів.

3. На заключному етапі здійснюють перехід від операторного зображення шуканої величини до оригіналу, тобто до часової функції. В залежності від характера обчисленого операторного зображення, перехід може бути виконаний такими способами:

- беспосереднє використання інтегральної формули оберненого перетворення Лапласа

- за допомогою таблиць, які містять численні пари відповідностей оригіналів та їх зображень по Лапласу. Цей прийом, как правило, вимагає певних перетворень отриманого операторного зображення з метою надання йому табличного виду;

- використовуючи теорему розкладання в тому чи іншому варіанті її представлення, зокрема:

якщо операторне зображенне має вид раціонального дробу

,

то

де pk - корені рівняння ;

якщо один з коренів рівняння дорівнює нулю, тобто ,

то

де - корені рівняння .

Як правило, завершують аналіз побудовою графіків найдених величин.

Приклад 3.3.

Проілюструємо особливості операторного методу аналізу на прикладі кола, розглянутого в прикладі 3.1.

1. Складаємо операторну схему заміщення післякомутаційного кола: електричні величини (струм і напругу) замінюємо їх зображеннями по Лапласу, пасивні елементи – операторними опорами (при нульових початкових умовах внутрішні джерела енергїї відсутні).

Підключенню до кола джерела E відповідає дії на вході кола ступінчастої функцїї , операторне зображенне якої має вид .

1. Напругу на виході визначаємо як

де

;

.

Таким чином,

1. Перейдемо від операторного зображення реакції кола до оригінала, тобто встановимо

Скористаємся другим та третім з згаданих вище прийомів.

В таблиці відповідностей оригіналів та зображень знаходимо .

Таким чином, отримане в п. 2 зображення необхідно привести до табличного виду:

Враховуючи отриманий результат, а також властивість лінійності перетворення Лапласа, маємо

Знайдемо оригінал, використовуючи теорему розкладання.

Для

маємо:

Визначивши всі компоненти, запишемо остаточний вираз для оригінала вихідної напруги

Таким чином, всі використані методи та прийоми знахождення реакцїї кола дають один і той же результат.

1.3. Завдання № 3

Розрахувати спектральним методом і побудувати амплітудно-частотний та фазо -частотний спектри вихідного сигнала , якщо на вході кола діє періодична послідовність прямокутних імпульсів напруги с параметрами в відповідності з таблицею 2.2.

Реакція лінійного електричного кола спектральним методом визначається в залежності від характеру зовнішньої дії (вхідного сигналу), а саме:

- при неперіодичних сигналах

де - - комплексна спектральна густина, або комплексний спектр, вихідного сигнала (реакцїї кола);

- комплексна спектральна густина вхідного сигнала;

- комплексна передаточна функція електричного кола;

- при періодичних сигналах

де - - комплексні амплітуди спектральних складових вихідного сигнала (реакцїї) кола;

- комплексні амплітуди спектральних складових вхідного сигнала;

- значення комплексноїї передаточноїї функції кола на частотах спектральних складових.

Оскільки данне завдання полягає в аналізі проходження через лінійне коло сигнала у вигляді періодичноїї послідовності прямокутних імпульсів (ПППІ), нагадаємо характерні моменти спектрального метода саме для цього випадку.

Виділимо три етапи.

1.Розрахунок і побудова амплітудно – частотного і фазо - частотного спектрів (АЧС та ФЧС відповідно) вхідного сигнала.

Значення амплітуд спектральних складових, тобто амплітудно – частотний спектр, розраховуємо в відповідності з формулами:

- для постійної складової (нульової гармоніки)

де - амплітуда імпульсів;

- скважність;

Т – період повторення імпульсів;

- тривалість імпульсів;

- для спектральних складових, починаючи з першої гармоніки

де - номер гармоніки.

Максимальне значення визначають в відповідності з загальноприйнятим визначенням ефективноїї ширини спектра , тобто

Початкові фази спектральних складових розраховують за формулою:

де - кругова частота повторення імпульсів;

t₀ - початкове зміщення сигнала (вісі симетрії першого імпульса) відносно t=0;

k – номер арки (лепестка) спектра.

Вибір знака перед другим доданком в наведеній формулі здійснюють виходячи із зручності побудови спектра.

Графічне представлення спектрів здійснюють відрізками прямих ліній в координатах довжина яких в відповідності з вибраним масштабом визначає амплітуди і початкові фази відповідних складових.

2. Розрахунок і побудова амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик кола (АЧХ і ФЧХ відповідно).

Комплексну передаточну функцію, зокрема, комплексний коефіцієнт передачі напруги, визначають як

де - комплексне зображення реакції кола (вихідної напруги);

- комплексне зображення дії (вхідної напруги);

- залежність від частоти модуля комплексного коефіцієнта передачі, або АЧХ кола

- залежність від частоти фазового здвигу між вихідною та вхідною напругою.

Частотні характеристики електричних кіл будують з врахуванням масштабу в координатах - для АЧХ та - для ФЧХ.

3. Для визначення спектрів вихідного сигналу, в відповідності з основною формулою розраховують амплітуди спектральних складових (АЧС)

і їх початкові фази

.

Побудову спектрів реакції кола виконують виходячи з тих же міркувань, що й для вхідного сигналу.

Приклад 3.4. На вході розглянутого в попередніх прикладах кола, замість підключення джерела живлення, діє сигнал у вигляді ПППІ напруги з параметрами: U_m=1мВ; =2мкс; T=8мкс, t₀=2мкс. Знайти реакцію кола спектральним методом.

1. Розраховуємо значення постійної складової та амплітуд і початкових фаз гармонічних складових сигналу на вході

Спочатку розраховуємо скважність q, максимальний номер гармоніки nмакс і частоти першої та наступних гармонік

=4;

оскільки гранична частота " ефективного" спектру f_макс=2qF,

n_макс=8;

Гц;

Гц і т. д.

Постійна складова

Амплітуда першої (основної) і подальших гармонік

В

и т.д.

Початкові фази 1, 2, 3 гармонік розраховуємо як

,

а 4, 5, 6 гармонік -

.

Результати подальших обчислень об‘єднаємо в таблиці. В цю таблицю внесемо також результати розрахунків АЧХ і ФЧХ кола, а також АЧС и ФЧС сигнала на виході.

За результатами розрахунків побудуємо спектри сигнала на вході кола

2. Розраховуємо амплітудно - частотну і фазо - частотну характеристики кола.

В відповідності з визначенням комплексного коефіцієнта передачі напруги

Представимо в показниковій формі

=

де - амплітудно – частотна характеристика;

- фазо - частотна характеристика.

Підставляючи в отримані співвідношення частоти спектральних складових вхідного сигналу, обчислимо значення амплітудно – частотної та фазо – частотної характеристик в діапазоні частот, що відповідає ефективній ширині спектра. Результати розрахунків занесемо в таблицю.

Графіки АЧХ та ФЧХ досліджуваного кола приведені на рисунку

3. Розраховуємо амплітудно – частотний та фазо - частотний спектри сигналу на виході кола

Для АЧС:

і т. д. Результати занесемо в таблицю.

Для ФЧС:

і т. д. Результати занесемо в таблицю.

n
f, кГц
, мВ	0.25	0.45	0.32	0.15		0.09	0.11	0.06
, рад	-	0.628	1.257	1.885	-	0.63	1.257	1.885	-
		0.565	0.638	0.655	0.662	0.665	0.666	0.667	0.668
	1.571	0.567	0.308	0.209	0.158	0.127	0.106	0.091	0.079
мВ		0.25	0.2	0.1		0.06	0.07	0.04
рад	-	1.195	1.565	2.094	-	0.757	1.363	1.976	-

На завершення будуємо амплітудно – частотний та фазо – частотний спектри сигналу на виході кола.

Таким чином, спектри сигналу на виході досліджуваного кола суттєво відрізняються від спектрів сигналу на вході. Зміни в спектрах обумовлені частотними властивостями кола, тобто частотною залежністю модуля і аргумента комплексного коефіцієнта передачі напруги кола.

Рекомендованая литература

1.Белецкий А.Ф.Теория линейних электрических цепей.- М.: Радио и связь, 1986.

2.Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники, ч. 1.-М.: Энергия, 1978.

3.Попов В.П.Основы теории цепей.- М.: Высшая школа, 1985.

4.Шебес М.Р.Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах.- М.: Высшая школа, 1973.