Построить фазовый портрет.

2. Построить график зависимости угла от времени.

3. Построить график зависимости угловой скорости от времени.

4. Определить чему равен собственный период колебаний маятника.

Задача 3. Линейный математический маятник с периодической внешней силой

Используя самостоятельно составленную программу промоделировать колебания математического маятника при условии, что на него действует внешняя сила F. Предположить, что а) сила действует вниз в верхней точке движения маятника, когда скорость равна нулю; б) по касательной в нижней точке – при прохождении положения равновесия; в) постоянно по касательной к траектории движения маятника. Значения параметров маятника, начальные данные, а также тип внешней силы взять из табл. 4. Выполнить моделирование и при этом:

Построить фазовый портрет.

2. Построить график зависимости угла от времени.

3. Построить график зависимости угловой скорости от времени.

4. Определить частоту собственных колебаний маятника, при которой наступает резонанс.

Таблица 4

Варианты заданий к лабораторной работе № 4

Вариант	L, м	m, кг	q, град	g, кг/с	Вид внешней силы
				0.5
		0.6		0.3
	1.5	0.3
		0.4		0.4
	2.5	0.1		0.1
		0.9			d(t)
		0.3		0.6	d(t)
		0.3		0.3	d(t)
		0.5			d(t)
	4.5	0.6		0.9	d(t)
	1.5	0.2		0.1
		0.1		0.2
		0.3		0.3
		0.7		0.2
	2.5	0.2		0.2	j(t)
	1.5	0.2		0.7	j(t)
		0.9		0.1	j(t)
		0.8		0.8	j(t)
		0.1		0.9	j(t)

Лабораторная работа № 5. Численное моделирование колебаний

в RC и RLC -контурах

Задача 1. Простые фильтры

Используя самостоятельно составленную программу (в качестве примера можно использовать программу < rc > [6]), промоделировать RC -цепь, показанную на рис. 1, для источника переменного напряжения вида . Номиналы элементов цепи и напряжение источника выбрать из табл. 5 (в данной задаче в таблице данных полагаем L =0). Выполнить моделирование и при этом:

1. Найти установившиеся амплитуды падений напряжения на резисторе и конденсаторе в зависимости от угловой частоты w источника или входного напряжения . При этом рассмотреть частоты f = 10, 50, 100, 160, 200, 500, 1000, 5000 и 10000 Гц. Для частоты f = 10 Гц значение шага D t взять 0.0001 с. Какое значение шага D t целесообразно взять для f = 10000 Гц?

Рис. 1. Примеры RC -цепей, используемых в качестве фильтров низких

и высоких частот (к задаче 1 лаб. работы № 5)

2. Построить график отношения амплитуды выходного напряжения для рис. 1 а к амплитуде входного напряжения как функцию от w (для переменной использовать логарифмический масштаб). Какие частоты пропускаются таким фильтром? Функционирует ли данная цепь как фильтр высоких или низких частот?

3. Для цепи, показанной на рис. 1 б выполнить исследование, аналогичное п. 2.

4. Вычислить значение «критической частоты», при которой амплитуда выходного напряжения падает в раз (половинная мощность) относительно входного значения. Исследовать, как критическая частота зависит от величины RC.

5. Построить графики падения напряжения на резисторе и конденсаторе в зависимости от времени. Заметим, что в каждом случае разность фаз f между падением напряжения и напряжением источника можно найти, определив время t_m между соответствующими максимумами этих напряжений. Поскольку f обычно выражается в радианах, имеем соотношение , где Т – период колебаний. Найти разности фаз: f _С между напряжением на конденсаторе и источником и f _R между напряжением на резисторе и источником. Определить, зависят ли эти разности фаз от w. Выяснить, опережает ли ток напряжение или отстает от него, т.е. наступает ли максимальное значение раньше или позже максимума . Найти разность фаз между напряжениями на конденсаторе и резисторе и определить, зависит ли она от w.

Задача 2. Отклик RC- цепи на прямоугольный импульс

Используя самостоятельно составленную программу (или программу < rc > [6]), промоделировать RC -цепь, показанную на рис. 1, для источника, закон изменения напряжения которого представляет собой прямоугольные и ТТЛ[1]-импульсы, как это показано соответственно на рис. 2 а и 2 б. Номиналы элементов цепи и амплитуду импульсов источника U ₀ выбрать из табл. 5 (в данной задаче в таблице данных полагаем L =0). Выполнить моделирование и при этом:

1. Для входного напряжения, изменяющегося по закону, показанному на рис. 2 а, построить график падения напряжения на конденсаторе в зависимости от времени, при этом экспериментально подобрать Т таким, чтобы конденсатор полностью заряжался за один полупериод.

а		б
Рис. 2. Прямоугольные (а) и ТТЛ (б) импульсы с периодом Т и амплитудой U 0

Таблица 5

Варианты заданий к лабораторной работе № 5

Вариант	U 0, В	R, Ом	C, мкФ	L, мГн	З-н изменения Uвх
			1.0	2.0
			3.0	2.0
			2.0	1.0
			1.0	2.0
			1.0	1.0
			0.5	5.0
			1.0	2.0
			3.0	1.0
			2.0	0.5
			0.5	2.0
			1.0	1.0	прямоуг. и ТТЛ
			1.5	1.0	прямоуг. и ТТЛ
			2.0	1.0	прямоуг. и ТТЛ
			1.0	2.0	прямоуг. и ТТЛ
			0.5	1.0	прямоуг. и ТТЛ
			0.25	1.0	прямоуг. и ТТЛ
			0.5	2.0	прямоуг. и ТТЛ
			2.0	1.0	прямоуг. и ТТЛ
	1.5		0.5	1.0	прямоуг. и ТТЛ
	1.5		2.0	2.0	прямоуг. и ТТЛ

2. Для входного напряжения, изменяющегося по закону, показанному на рис. 2 б [2], построить аналогично график функции и проанализировать ее отличие от случая прямоугольных импульсов (п. 1).

Задача 3. Отклик RLC- цепи

Используя самостоятельно составленную программу (в качестве образца можно использовать программу < rc > (или < sho >) [6], причем в обеих последних потребуется некоторая модифи­ка­ция), промоделировать RLC -цепь, показанную на рис. 3, для источника переменного напряжения вида . Номиналы элементов цепи и напряжение источника выбрать из табл. 5. Выполнить моделирование и при этом:

1. Вычислить падение напряжения как функцию времени на всех трех элементах цепи. Построить график зависимости тока I от времени. Из графиков построенных для различных значений w (рассмотреть частоты f = 10, 50, 100, 160, 200, 500, 1000, 5000 и 10000 Гц), определить максимальное значение установившегося тока I_m. Построив зависимость I_m (w), получить резонансную кривую и вычислить значение w=w₀, при котором она достигает максимума, т.е. резонансную частоту w₀.

2. Известно, что острота резонансной кривой цепи переменного тока связана с коэффициентом качества или добротностью Q. Чем острее резонанс, тем больше добротность Q [3]. Определим добротность как , где - ширина частотного интервала между точками резонансной кривой I_m (w), имеющими значение, равное 0.707 от ее максимального значения.

Рис.3. Последовательная RLC -цепь с источником напряжения Us

Вычислите добротность Q для значений R, L и C, соответствующих исходным данным решаемого варианта. Измените величину R на 10% и вычислите соответствующее процентное изменение добротности Q. Определите, как меняется Q, если L или C изменить на 10%.

3. Вычислить временнý ю зависимость падения напряжения на каждом элементе цепи приблизительно для пятидесяти частот, лежащих в интервале 0.1÷ 10w₀. Построить графики.

4. Известно, что отношение амплитуды синусоидального напряжения источника к амплитуде силы тока называется импедансом цепи Z, т.е. . Это определение Z является обобщением понятия сопротивления, определяемого для цепи постоянного тока законом Ома . С помощью графиков, построенных в п. 3, определите и для различных частот и покажите, что импеданс равен

.

Определите, при каком значении w импеданс достигает максимума. Покажите, что формула справедлива только для максимальных значе­ний I и U, а не для значений тока и напряжения в любой момент времени.

5. Вычислить разность фаз f _R между падением напряжения на резисторе и источником напряжения. Рассмотреть случаи и . Выяснить, опережает ли в каждом случае ток напряжение или отстает от него, т.е. достигает ли сила тока максимального значения раньше или позже максимума напряжения. Вычислить разность фаз f _L и f _C и описать зависимость этих величин от w. Определить, зависят ли относительные разности фаз между от w.

Вычислить амплитуду падения напряжения на индуктивности и конденсаторе на резонансной частоте. Сравнить эти величины с падением напряжения на резисторе и напряжением источника. Сравнить также относительные фазы на резонансной частоте. Дать объяснение, каким образом можно использовать RLC -цепь в качестве усилителя входного напряжения.

[1] Транзистор-транзисторная логика

[2] Такая серия импульсов используется, например, в качестве часов в цифровых цепях

[3] Например, в схемах настройки любого радиоприемника используются цепи с большим значением Q (а значит и с более острым резонансом), что обеспечивает прием в каждый момент времени только одной станции