Решение нелинейных уравнений методом Ньютона

Постановка задачи:

Необходимо решить уравнение f(x)=0 с заданной точностью, если на отрезке

функция f(x) непрерывна, монотонна и имеет разные знаки на концах ().

Через точку М проводим касательную к графику y=f(x), находим пересечение её с осью Х – с, строим перпендикуляр из точки с к графику, проводим новую касательную, поступаем аналогично до тех пор, пока не будет выполнено одно из условий: или .

Для реализации метода необходимо решить следующие задачи:

1) Получение (выбор) начального приближения -

2) Формула метода Ньютона:

3) Условия завершения итерационного процесса:

1.

2.

Алгоритм решения:

1) Ввод a, b, Eps

2) Выбор x⁰

если

тогда X^k=a

иначе X^k=b

3) iter++

4) Итерационный процесс:

do

4.1) iter++

4.2)

4.3) d=|XK1-XK|

4.4) если d > Eps, тогда XK=XK1

условие продолжения:

while (d > Eps)

5) Вывод результатов: XK1 и iter

6) Проверка: f(XK1) ≈ Eps

Исходные данные:

График функции:

По графику видно, что отрезок [a; b] – это [0, 1], т. к. на этом отрезке у графика разные знаки на концах.

Текст программы:

#include < conio.h>

#include < math.h>

#include < iostream.h>

long double f(long double x)

{

if (x==0) x=0.000001;

return (2*log(x)-x/2+1);

}

long double f1(long double x)

{

if (x==0) x=0.000001;

return ((4-x)/(2*x));

}

long double f2(long double x)

{

return ((-2)/pow(x, 2));

}

void main()

{

clrscr();

long double a, b, Eps, c=0;

int iter=0;

cout< < " Vvedite a, b, Eps ";

cin> > a> > b> > Eps;

if(f(a)*f1(a)> 0) c=a;

else c=b;

do

{

c-=f(c)/f1(c);

iter++;

}

while(fabs(f(c))> Eps);

cout< < " \nOtvet: " < < c< < " \n\nIteraziy: " < < iter< < " \n\nProverka: " < < f(c);

getch();

}

Скриншот результата программы (при Eps=0, 1 2 итерации):

Результаты работы программы (проверка говорит о том, что решение правильное – f(c) ≈ 0):

с ()=0, 724372

Скриншот результата программы (при Eps=0, 0000000001 5 итераций):

Результаты работы программы (проверка говорит о том, что решение правильное – f(c) ≈ 0):

с ()=0, 727514

Если сравнить результаты решения нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам, методом хорд и методом Ньютона, то результаты почти совпадают.

Чем меньше Eps, тем больше итераций требуется для достижения результата, и тем точнее он получается.