![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Рішення
На першому етапі рішення задачі застосовується до функції Т(х, t) пряме перетворення Фур'є по перемінній х T(x, t) ®F(s, t)= де T(x, t) – оригінал (шукана функція); F(s, t) зображення для функції Метою даного етапу є перебування зображення F(s, t) за допомогою перетвореної системи рівнянь (1) – (2) відповідно до формули (4). Використовуючи формули, аналогічні (4), одержуємо для лівої і правої частин рівняння (1), а також початкової умови (2) наступні перетворення Фур'є
Застосовуючи до інтегралу, що розміщений в правій частині (6), двічі метод інтегрування по частинам і враховуючи граничні умови (3), одержуємо, що
Тоді
Для початкової умови (2) маємо
Таким чином, враховуючи (5) - (9) для знаходження зображення F(s, t) одержуємо звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку з розподілювальними перемінними (замість диференціального рівняння в частинних похідних 2-го порядку для функції Т(х, t)
з початковою умовою
Рішення рівняння (10) з урахуванням (11) одержуємо прямим інтегруванням лівої і правої його частин
На другому етапі рішення задачі для знаходження шуканого рішення Т(х, t) використовується зворотне перетворення Фур'є
Підставляючи (12) у (13), одержуємо
З урахуванням (9) для визначення T(x, t) одержуємо наступний подвійний інтеграл
Для обчислення внутрішнього інтеграла I скористаємося відомою формулою Ейлера
Одержуємо
Враховуючи, що I¢ = 0 (інтеграл від непарної функції із симетричними межами), маємо
Вираз для інтегралів типу (18) можна знайти в спеціальних довідниках[1]
Підставляючи (19) у (15), одержуємо наступне рішення вихідної задачі
Як приклад використання формули (20) розглянемо окремий випадок із заданою функцією j(х) у вигляді деякого прямокутного імпульсу
де х – у м, j(х)- у °С. Підставляючи (21) у (20), маємо
Зведемо інтеграл, що розміщений в правій частині (18), до спеціальної функції (інтеграл помилок, інтеграл Лапласа, інтеграл імовірностей) erf(z) = значення якої для різних значень аргументу z можна знайти в довідковій літературі. Для цього зробимо заміну перемінних в інтегралі (23)
Одержуємо
З урахуванням (23) одержуємо наступну формулу для розподілу температури в розглянутому середовищі в будь-який момент часу
де Т - у °С; t- у с. Задача 2 Процес нагрівання виробу рухливим джерелом теплового впливу описується наступним рівнянням теплопровідності (рис.3, рухлива система координат). Рисунок 3 – Схема теплової дії на виріб (
початковою умовою
і граничними умовами
де V - швидкість руху джерела; Fv(x, t) - об'ємна густина теплового потоку; Рішення. Шляхом відповідної заміни перемінних перетворимо систему рівнянь
Одержуємо
Далі виключимо з рівняння (31) член
Підставляючи (34) у (31) - (33), одержуємо для функції
![]()
![]() Як і при рішенні першої задачі, для знаходження функції
Також як і при рішенні попередньої задачі, знайдемо F(
Використовуючи (40)-(42), для знаходження F(s, t) одержуємо звичайне лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку, яке уже можна вирішити одним із стандартних методів (наприклад, методами Бернуллі, Ейлера та ін.)
Знайдемо рішення (43) - (44) методом Бернуллі
де m(t) і n(t) – дві невідомі функції, що знаходяться в процесі рішення
Функцію n(t) знаходимо, спростивши (46)
Інтегруючи (47), (константу в рішенні опускаємо) одержуємо
З урахуванням (46) і (48) знаходимо
Звідси
де с – деяка постійна. Підставляючи (48) і (50) у (45), одержуємо
З урахуванням початкової умови (44), остаточно, для F(s, t) одержуємо наступний вираз
На другому етапі рішення задачі для знаходження оригіналу
Підставляючи (42) і (52) у (53), одержуємо
Згрупувавши інтеграли в (54) і розбивши їх на внутрішній і зовнішній, знаходимо
Також як і в попередній задачі, для знаходження внутрішнього інтеграла
Підставляючи (56) у (55), одержуємо наступне рішення для функції
Використовуючи (30), (34) і (57), остаточно, для рішення вихідної задачі маємо
Розглянемо джерело теплового впливу з нормально розподіленою потужністю (гаусового типу)
де Р(t) – потужність джерела в центрі впливу; k(t) коефіцієнт зосередженості джерела; Н, В – відповідно товщина і ширина елемента. Підставляючи (59) у (58) і враховуючи що Р(t) =Р0 і k(t) =k0 (Р0 і k0 - постійні величини), одержуємо
Формула (60) дозволяє проводити розрахунки розподілів температури в різних тонкоплівкових виробах машинобудування, точного приладобудування, космічної й авіаційної техніки та ін. при їхній обробці рухливими концентрованими джерелами тепла (різець, фреза, електронний промінь, лазерне випромінювання та ін).
|