Случайные события

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности, возникающие при массовых случайных явлениях или в массовых однородных опытах.

Все наблюдаемые нами события (явления) можно разделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Пример 1. 1. Если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие {вода в сосуде находится в жидком состоянии} есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Пример 1.2. Событие, состоящее в выпадении не более 6 очков при бросании одного игрального кубика, есть событие достоверное.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S.

Пример 1.3. Если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера, событие {вода в сосуде находится в твердом состоянии} заведомо не произойдет. Оно в данном случае событие невозможное.

Пример 1.4. Событие, состоящее в выпадении 10 очков при бросании одной игрального кубика, есть событие невозможное.

Невозможному событию соответствует пустое множество, поэтому его будем обозначать символом .

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти, либо не произойти.

Пример 1.5. Если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие {при бросании монеты выпал герб}- случайное.

Для обозначения случайных событий используются большие буквы начала латинского алфавита А, В, С, …, снабжая их при необходимости индексами.

Исходными понятиями теории вероятностей являются понятия стохастического эксперимента, случайного события и вероятности случайного события.

Стохастическим называется эксперимент, результат которого заранее (до его проведения) предугадать нельзя. Часто вместо стохастического эксперимента говорят об испытании, опыте.

Пример 1.6. Рассмотрим опыт с бросанием игрального кубика с цифрами от 1 до 6 на гранях. Результатом этого стохастического эксперимента/опыта может быть появление одного из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Можно рассматривать и другие события, заключающиеся, например, в том, что выпадет четная/нечетная цифра, сумма выпавших чисел равна пяти, четная, делится на три и т.д.

Элементарным исходом называется элементарное, неразложимое событие. Любое событие может быть разложено на элементарные исходы; иначе говоря, событие есть совокупность элементарных исходов.

Пример 1.7. Событие, заключающееся в том, что сумма очков, выпавших при бросании двух игральных кубиков, равна шести, может состоять из элементарных событий, заключающихся в выпадении (1, 5), или (2, 4), или (3, 3), или 4, 2), или (5, 1). То есть, событие {сумма очков равна шести} разлагается на пять элементарных исходов.

Элементарные события обладают следующими свойствами:

· взаимно исключают друг друга, и в результате опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

· каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарному событию можно сказать о том, произошло или не произошло событие А.

Элементарные события обозначают греческой буквой ω, снабжаемой при необходимости индексом, или строчными буквами конца латинского алфавита: x, y, z, …, снабжаемыми при необходимости индексами. Совокупность элементарных событий обозначают Ω и называют пространством элементарных событий.

Пример 1.8. В рассмотренном ранее примере 1.5 элементарными событиями ω _i можно считать появление любого числа от 1 до 6. Очевидно, что всего имеется 6 элементарных событий. Выбор элементарных событий определяется неоднозначно, чем можно пользоваться при решении задач.

В дальнейшем, вместо того чтобы говорить " совокупность условий S осуществлена", будем говорить кратко: " произведено " испытание". Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример 1.9. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени - событие. В урне имеются цветные шары. Из урны наугад берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - событие.