![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Максвелловское распределение молекул по скоростям
В результате столкновений молекулы обмениваются скоростями, а в случае тройных и более сложных столкновений молекула может иметь временно очень большие и очень малые скорости. Хаотичное движение приводит к хаотичному распределению молекул по скоростям. Это распределение можно получить, обобщив закон Больцмана. Пусть в элементе объема DxDyDz находится число молекул DN = nDxDyDz, где n - число молекул в единице объема. Подставляя n из формулы (9.15), получим DN = no exp[- Eп /(kT) ] DxDyDz. Как доказывается в статистической физике, распределение Больцмана можно обобщить, построив подобно обычному пространству дополнительное пространство скоростей молекул и рассмотрев его элемент Dvx Dvy Dvz. Получим DN = A exp[-E /(kT)]DxDyDzDvxDvyDvz, (9.16) где E = mv 2 /2 + mgh - полная энергия молекулы; A - постоянная величина; DN - число молекул, находящихся в объеме DxDyDz, скорости которых попадают в интервал Dv x Dv y Dv z. Считая, что в малом объеме DxDyDz энергия mgh постоянна и вводя Dn = DN/(DxDyDz), запишем (9.16) в виде Dn = B exp[-mv2 /(2kT)] DvxDvyDvz, (9.17)
Dn = B exp[-m v2 /(2kT)] 4p v2 Dv. (9.18) Максвелл ввел специальную функцию распределения молекул по скоростям f(v) = Dn/(nDv), которая показывает, какое относительное число молекул имеет скорости в интервале от v до v + Dv. Легко видеть, что å f(v)Dvi» å Dni /n = 1. Переходя к пределу, получим
Данное выражение называют условием нормировки функции распределения. С учетом (9.18) функцию распределения можно записать в виде u2 = mv2/(2kT), (9.20) и запишем функцию распределения в виде f(v) = C exp(-u2) u2. (9.21)
Отсюда видим, что с повышением температуры наиболее вероятная скорость возрастает. Кривая 2 на рис.9.5, соответствующая более высокой температуре, смещена вправо по сравнению с кривой 1. Это означает, что с повышением температуры скорости всех молекул возрастают, но характер распределения остается. Площадь, ограниченная каждой из кривых, в соответствии с условием (9.19) равна единице. Из анализа кривых на рис.9.5 видно, что относительное число молекул, скорости которых малы, невелико. Относительное число молекул, скорости которых намного больше v нв, мало. Однако всегда существует небольшое число молекул с очень большими скоростями движения. Исходя из этого, легко понять сущность процесса испарения, при котором наиболее быстрые (“горячие”) молекулы покидают жидкость, и из-за этого в целом температура ее при испарении понижается. Постоянную C в выражении (9.21) определяют, используя условие нормировки (9.19). Подставляя формулу (9.21) в выражение (9.19), получим C = 4/( С помощью Максвелловского распределения молекул по скоростям можно рассчитать среднюю скорость молекул по формуле v ср = vср = Аналогично рассчитывается средняя квадратичная скорость: vкв2 = Видим, что наибольшее значение имеет средняя квадратичная скорость молекул. Примерно на 10% меньше, чем v кв, средняя скорость и на 20% меньше, чем v кв, наиболее вероятная скорость.
|