Молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей

Теплоемкостью тела C называют физическую величину, численно равную количеству тепла, которое необходимо сообщить телу для нагревания его на один градус. Если сообщить телу количество тепла dQ, то температура тела повысится на dT градусов и его теплоемкость определится по формуле:

C = dQ/dT. (10.8)

Размерность теплоемкости равна [ C ] = Дж / К.

Теплоемкость моля вещества называется молярной и обозначается символом C_m. Теплоемкость единицы массы называется удельной и обозначается c _удили c, причем легко видеть. что C_m = mc _уд. Теплоемкость произвольной массы m равна C = c _уд m. Отсюда следует, что достаточно знать теплоемкость моля, чтобы рассчитать теплоемкость тела произвольной массы.

Согласно первому началу термодинамики dQ = dU + dA. Отсюда следует, что количество тепла dQ, сообщенное телу при повышении его температуры на dT, будет затрачено не только от изменение внутренней энергии dU, но и на работу dA, которую газ при этом совершит. Так как процесс расширения газа на диаграмме p-V можно провести бесчисленным количеством способов, то теплоемкость газа может иметь такое же число значений. Для практических целей наиболее важными являются теплоемкость при постоянном давлении C _p и постоянном объеме С _v .

Рассчитаем теплоемкость моля газа при постоянном объеме C _{v m}. Первое начало термодинамики для изохорного процесса имеет вид dQ = dU _m. Выражение (10.8) запишем в виде

C _{v m} = dU _m /dT. (10.9)

Учитывая формулу (10.2), получим

C _{v m} = i R /2, (10.10)

где i - число степеней свободы движения молекул газа, R - универсальная газовая постоянная. Из выражения (10.10) следует, что теплоемкость C _{v m} моля произвольного газа является постоянной величиной и зависит лишь от числа степеней свободы движения молекул. Следует однако заметить, что выражение (10.10) для воздуха не является справедливым при низких и высоких температурах (рис.10.4). При высоких температурах у молекул возбуждается колебательное движение и часть энергии теплового движения передается колебаниям атомов в молекуле. Число колебательных степеней свободы движения равно 2. При низких температурах, наоборот, наблюдается “замораживание” вращательных степеней свободы движения, объясняемое квантовой механикой. Поэтому зависимость теплоемкости от температуры имеет сложный вид.

Рассмотрим теплоемкость при постоянном давлении для моля газа. Согласно первому началу термодинамики

C _{p m} = dQ/dT = dU _m /dT + dA _m /dT, (10.11)

где dA _m = pdV _m - работа моля газа при изменении его объема на dV _m; p - давление газа. Учитывая, что pV _m = RT, получим dA _m = RdT. Если числен-но положить dT = 1, то dA _m = R. Отсюда следует, что универсальная газовая постоянная численно равна работе изобарического расширения моля газа при его нагревании на один градус. С помощью формулы (10.9) и выражения для dA _m представим равенство (10.11) в виде

C _{p m} = C _{v m} + R, (10.12)

Выражение (10.12) называется формулой Майера. Величина g = C _p /C _v представляет собой характерную для каждого газа величину, часто применяющуюся при расчетах. Используя уравнения (10.10) и (10.12), получим

g = (i + 2)/i. (10.13)

Отсюда для газа из одноатомных молекул (i = 3) получим g = 1, 67; для двухтомного газа (i = 5) - g = 1, 4; для трехатомного газа (i = 6) - g = 1, 33.