![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Законы излучения.
Теоретическое объяснение излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к открытию квантов энергии. Посмотрим, как это происходило исторически. 1) Закон Стефана [b] - Больцмана [c]. Долгое время многочисленные попытки получить теоретически вид функции Стефан (1879г.), анализируя экспериментальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость любого тела Rэ~T4 (~ четвертой степени абсолютной температуры). Больцман (1884г.), исходя из термодинамических соображений, получил для абсолютно черного тела соотношение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Закон Стефана-Больцмана: полная лучеиспускающая способность (энергетическая светимость) абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. s - постоянная Стефана-Больцмана. s=5, 7× 10-8Вт/(м2× град4). 2) Закон Вина. Вин[d] (1893г.), воспользовавшись кроме термодинамики, электромагнитной теорией, показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид:
На основании этого он вывел следующие законы: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности обратно, пропорциональна абсолютной температуре: b=2, 9× 103мк× К – 1 ая постоянная Вина. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Максимальная излучательная способность абсолютно черного тела rwmax возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры: с² =1, 3× 10-3Вт/м2× К5 – 2 ая постоянная Вина. На законе Вина основан метод определения температуры раскаленных тел (оптическая пирометрия) по спектру их излучения. Именно этим методом впервые была определена температура поверхности Солнца. Максимум энергии солнечного излучения приходится на длину волны lm=0, 47мкм. Следовательно, абсолютная температура поверхности Солнца равна 3) Рэлей и Джинс [e] сделали попытку определить функцию
Оказывается, что формула Рэлея-Джинса, вывод которой безупречен с классической точки зрения (он основан на применении законов термодинамики и теоремы Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы) удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн и резко расходится с опытом для малых длин волн. Интегрирование выражения, представляющего формулу Рэлея-Джинса, по w от 0 до ¥ дает для равновесной плотности энергии (также как и для энергетической светимости Rэ) бесконечно большие значения (рис.1.4.). Эти расхождения теории и эксперимента, обнаруженные на рубеже XIX и XX веков, получили название ультрафиолетовой катастрофы. Посмотрим, как удалось разрешить сложившееся противоречие. Расхождения теории и эксперимента явились серьезным предостережением, выходящим далеко за рамки задачи о построении универсальной функции Формула Планка. В 1900г. Планку удалось найти вид функции В основе рассуждений, приводящих к определенному Планком виду функции спектрального распределения
Если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, то ее среднее значение было бы равно Заменив в формуле Рэлея-Джинса kT выражением (*), получим формулу, найденную Планком: Получим выражение для средней энергии излучения частоты w, исходя из представлений Планка об испускании электромагнитного излучения в виде квантов энергии. Если излучение испускается квантами (порциями)
Согласно закону Больцмана вероятность Pn того, что энергия излучения имеет величину en, определяется выражением:
Нормировочный множитель A можно найти, исходя из условия, что сумма всех Pn должна быть равна единице. Действительно, сумма Pn представляет собой вероятность того, что энергия имеет одно из возможных для нее значений. Такое событие является достоверным и, следовательно, имеет вероятность, равную единице. Итак, Тогда, найдя значение A, получим, что Предположив возможность измерения значения энергии данной спектральной составляющей излучения в любой момент времени, произведем через равные промежутки времени очень большое число таких измерений N. Разделив сумму полученных значений на число измерений N, найдем среднее по времени значение энергии
Следовательно, среднее значение энергии излучения частоты w будет определяться следующим выражением:
Дальнейшие вычисления легко провести, приняв, что
Выражение, стоящее под знаком логарифма, представляет собой сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице и знаменателем прогрессии, равным
Наконец, заменив x его значением
Переходя к длинам волн формулу Планка можно записать в виде:
Заметим, что при выполнении условия Применим формулу Планка для вывода законов Стефана-Больцмана и закона смещения Вина. 1) Энергетическая светимость абсолютно черного тела Rэ:
Пусть 2) Для вывода закона смещения Вина воспользуемся связью между функциями Участку спектра dw соответствует интервал длин волн dl. Определяющие один и тот же участок спектра величина dw и dl связаны простым соотношением, вытекающим из формулы: Если интервалы dw и dl относятся к одному и тому же участку спектра, то величины dRэ и dRl должны совпадать, т.е. или
Для абсолютно черного тела Отсюда Тогда имеем
Далее возьмем первую производную функции Удовлетворяющие этому уравнению значения l=0 и l=¥ соответствуют минимуму функции Решение этого трансцендентного уравнения дает значение x=4, 965. Следовательно, Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения. САМОСТОЯТЕЛЬНО: Оптическая пирометрия, Типы пирометров: радиационные, яркостные, цветовые; принцип действия.
|