![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы
Смысл этого уравнения, как и уравнений Максвелла, мы будем усматривать из некоторых конкретных ситуаций. Когда мы переберём все возможные ситуации, тогда мы и осознаем смысл уравнения, другого понятия смысла и быть не может. Свободная частица – это простейший объект в классической механике и, соответственно, простейший объект в квантовой механике. Что такое свободная частица? Это частица, на которую не действуют никакие силы. Как узнать, действуют или не действуют? Возникает наглядное представление о свободной частице: на всём белом свете есть одна частица и всё, удалили всю вселенную, тут заведомо на неё никто не действует, потому что, просто, больше никого нет. Если свободная частица подчиняется законам классической механики, то в любой инерциальной системе она либо неподвижна, либо движется с постоянной скоростью. Теперь этот объект мы будем рассматривать в рамках этого уравнения. Слова «свободная частица» означают, что
Это уравнение в частных производных, я его не буду решать, я просто предъявлю решение, и мы убедимся, что это действительно решение. В качестве кандидата на решение выдвигаем вот такую функцию: фазу
Подставляем то, что мы получили, в уравнение (мы хотим убедиться, будет ли эта функция решением уравнения (2)): Значит, функция
удовлетворяет уравнению Шредингера для свободной частицы, если константы k, ω не любые, взятые с потолка, а связаны таким образом:
Волновая функция описывает частицу с энергией Теперь, конечно, хочется взглянуть на волновую функцию на базе тех наших смутных знаний о ней. Мы знаем, что Математический факт такой, что взяв суперпозицию этих функций со всевозможными частотами и волновыми векторами, мы можем получить все решения уравнения Шрёдингера для свободной частицы. Общее решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы представляется в виде суперпозиции функций вида (3): То есть задайте любой вектор Мы написали общее решение уравнения. Вы, конечно, должны были удивиться: функция (3) есть решение волнового уравнения, которое выглядит так:
В (2)
|