Метод моментов.

Пусть имеется выборка из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения , принадлежащей k -параметрическому семейству с неизвестными параметрами , которые нужно оценить. Поскольку нам известен вид теоретической функции распределения, мы можем вычислить первые k теоретических моментов. Эти моменты, разумеется, будут зависеть от k неизвестных параметров :

,

,

…………………….

.

Метод моментов заключается в следующем. Т.к. эмпирические моменты являются состоятельными оценками теоретических моментов, то записанной системе равенств при большом объеме выборки теоретические моменты можно заменить на эмпирические . В полученной системе уравнений в роли неизвестных выступают параметры . При решении этой системы уравнений будут получены оценки неизвестных параметров :

,

…………………….

.

Замечание 1. Метод моментов был изложен с использованием начальных моментов. Все вышесказанное имеет место и для центральных моментов.

Метод моментов впервые предложил П.Л. Чебышев [37, с.253]. Развитием метода занимались ученики Чебышева и английский математик, биолог, философ-позитивист Карл Пирсон (1857-1936) [18, с.394]. Кратко суть метода может быть изложена словами: для определения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения необходимо прировнять теоретические моменты рассматриваемого распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.

Пример 1. Страховая компания провела анализ дневных суммарных выплат по однотипным медицинским договорам страхования. Результаты анализа (в тыс. грн.) за 100 рабочих дней сведены в табл.1:

Табл.1. Статистические данные к примеру 1

№ интервала
Границы	0 - 1	1 - 2	2 - 3	3 - 4	4 - 5	5 - 6	6 - 7	7 - 8
Середина интервала	0, 5	1, 5	2, 5	3, 5	4, 5	5, 5	6, 5	7, 5
Частота
Частость	0, 01	0, 05	0, 14	0, 26	0, 24	0, 18	0, 10	0, 02	100/100=1

Предполагая, что дневные суммарные выплаты распределены по нормальному закону

.

оценить методом моментов параметры и .

Решение. Вычислим среднее значение выборки, причем за представителя каждого интервала (разряда) примем его середину:

Выборочные дисперсия и стандартное отклонение, соответственно, равны:

,

.

Согласно методу моментов, нужно приравнять теоретические моменты рассматриваемого распределения к соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Следовательно, выберем параметры и нормального закона так, чтобы выполнялись условия:

,

.

Поэтому

Подставляя оценки параметров, полученные методом моментов, в теоретическую плотность распределения имеем

Вычислим значения в середине каждого из интервалов:

Табл.2.Расчетная таблица к примеру 1

x	0, 5	1, 5	2, 5	3, 5	4, 5	5, 5	6, 5	7, 5
	0, 0105	0, 0481	0, 1373	0, 2439	0, 2694	0, 1852	0, 0792	0, 0210
Частость	0, 01	0, 05	0, 14	0, 26	0, 24	0, 18	0, 10	0, 02

Как видно из табл.2 значения плотности распределения в серединах интервалов мало отличается от частости. Построим на рис.1 гистограмму и, по вычисленным значениям, кривую плотности.

Рис. 1. Гистограмма частостей и кривая теоретической плотности распределения

Судя по рис.1, теоретическая кривая плотности распределения , в основном, сохраняет особенности статистического распределения. Пример 1 выполнен.

Замечание 2. Оценки, полученные методом моментов, обычно имеют сравнительную эффективность существенно меньше единицы и даже являются смещенными. Иногда, из-за простоты их нахождения, они используются в качестве начального приближения для нахождения более эффективных оценок.