Тема 1 Матрицы и определители

Для первого курса заочной формы обучения

Челябинск

Математика: Методические рекомендации по выполнению домашней контрольной работы / М.А.Сагадеева, И.Ю.Коробейникова - Челябинск: ОУ ВО Южно-Уральский институт управления и экономики, 2015.- 25с.

Ó Издательство ОУ ВО Южно-Уральский институт управления и экономики», 2015

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Цель курса математики в системе подготовки экономиста – освоение необходимого математического аппарата.

Это необходимо для анализа моделирования и решения прикладных экономических задач, в том числе с использованием ЭВМ.

Задачиизучения математики как фундаментальной дисциплины состоят в развитии логического и алгоритмического мышления, в выработке умения моделировать реальные экономические процессы.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

РАЗДЕЛ 1ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Тема 1 Матрицы и определители

Определение матрицы. Виды матриц. Транспонирование матриц. Алгебраические операции над матрицами. Определители второго, третьего порядков и матрицы n-го порядка. Теорема Лапласа. Присоединенная и обратная матрицы. Алгоритм вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы как наивысший порядок ее миноров, отличных от нуля. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Теорема о ранге матрицы — максимальном числе ее линейно независимых строк (столбцов)

Надо хорошо уяснить, что матрица — это прямоугольная таблица, составленная из mn чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Необходимо знать, как устанавливаются размеры матрицы и ее порядок, уметь выполнять транспонирование матриц, алгебраические операции над ними (умножение матрицы на число, сложение, вычитание, умножение матриц).

Необходимо усвоить следующее: строки обозначаются индексом ”i”, столбцы индексом ”j”. Поэтому любой элемент матрицы можно обозначить a_ij. Это означает, что элемент a_ij находится в i-ой строке и в j-ом столбце. Например, a₁₁ – элемент первой строки и первого столбца; a₂₃–элемент второй строки и третьего столбца. Индекс с «i» растет всегда «вниз», а индекс «j» – растет вправо.

Размер матрицы m х n означает, что конечные величины i и j равны соответственно m и n, т.е. i_кон=m, j_кон=n.

При вычислении определителей необходимо отметить, что определитель есть число и вычисляется по определенным правилам. Необходимо рассмотреть правило вычисления определителей второго порядка и правило треугольника или правило Сарруса для вычисления определителей третьего порядка.

В качестве универсального метода вычисления определителей необходимо рекомендовать вычисление на основе теоремы Лапласа.

Для этого нужно знать определение минора (вычисление), определение алгебраического дополнения A_ij=(-1)^i+jM_ij и саму теорему Лапласа..

Мало того, нужно обратить внимание и на то, что определители порядка больше трех вычисляются с помощью теоремы Лапласа.

Относительные трудности возникают при усвоении операции умножения матриц. Необходимо твердо усвоить формальное правило умножения и связанное с ним условие существования произведения АВ матриц А и В: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Одна из особенностей операции умножения состоит в том, что произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА. Даже если А и В – квадратные матрицы, в общем случае АВ ¹ ВА, в чем нетрудно убедиться на любом частном примере. Другая особенность произведения матриц состоит в том, что произведение двух ненулевых матриц может оказаться нулевой матрицей.

Например, можно легко показать, что произведение матриц есть нулевая матрица (сравните: во множестве действительных чисел произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю).

=

Нужно знать определение присоединенной и обратной матриц, уметь их вычислять, знать, что для существования матрицы А^-1, обратной матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной (неособенной). Проверить правильность вычисления обратной матрицы можно, составив произведение АА^-1 или А^-1 А. Если оно является единичной матрицей Е, то, в соответствии с определением, матрица А ^-1 вычислена правильно.

Нужно уметь вычислять определители второго и третьего порядков (метод треугольника) и более высших порядков. При вычислении определителей нужно активно использовать свойства определителей 2, 4, 5, 6, 8. Теорему Лапласа нужно знать твердо и уметь ее использовать для практики.

Вычисление обратной матрицы осуществлять по алгоритму, изложенному в. Нужно четко усвоить в алгоритме, что обратная к исходной матрице существует. После этого определяется транспонированная к исходной матрица. Именно для транспонированной матрицы А¢ ищутся алгебраические дополнения A_ij.

Из алгебраических дополнений к транспонированной матрице составляется присоединенная (союзная) матрица.

Если известна союзная матрица и определитель исходной матрицы, то вычисляется обратная матрица A^-1= / .

Обратная матрица будет использоваться для решения систем линейных уравнений.

Пример: Найти матрицу С=В¢ × А¢ × А× В, если А= , В= .

Решение:

Алгоритм решения:

1. Находим матрицы В¢, А¢, транспонированные к матрицам А и В.

А¢ = , В¢ = .

2. Находим произведение матриц:

В¢ × А¢ = × = .

Это возможно ибо число столбцов матрицы В¢ равно числу строк матрицы А¢.

3. Находим произведение матриц:

А× В= = .

4. Находим произведение

С=В¢ × А¢ × А× В= = (10)

Ответ: C = (10)