по дисциплине

«Теория систем автоматического управления»

Выполнил студент гр. __________шифр ___________ ________________

Принял к.т.н., доц. Коропец П.А.

Оценка _________________

г. Ростов-на-Дону

Вариант № 78.

1. Передаточные функции.

1.1. Ответить на вопросы.

Что называется передаточной функцией звена?

Что называется характеристическим полиномом звена?

Передаточная функция – это отношение преобразования Лапласа выходного параметра системы к преобразованию Лапласа от входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Характеристический полином звена – это знаменатель передаточной функции

1.2. Найти передаточную функцию САУ по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия - нулевые.

.

Решение.

Приведя уравнение к стандартной форме, получим

Запишем полученное уравнение в операторной форме, используя преобразование Лапласа

Тогда передаточная функция будет иметь вид

2. Амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) характеристики.

2.1. Ответить на вопросы.

Что называется АЧХ?

Что называется ФЧХ?

АЧХ – это зависимость амплитуды от частоты.

ФЧХ – это зависимость сдвига фазы от частоты.

2.2. Найти амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные (ФЧХ) характеристики по известной передаточной функции системы

.

Решение.

Если записать

где - действительная часть; - мнимая часть, то АЧХ и ФЧХ определяются соответственно по формулам:

и .

Часто . Тогда используя известные в теории комплексных чисел соотношения и подставив исходную передаточную функцию, получим

;

3. Устойчивость САУ

3.1. Ответить на вопросы.

Что понимают под устойчивостью САУ?

Условие устойчивости систем по Ляпунову?

Устойчивость – это способность системы возвращаться к прежнему равновесному состоянию или режиму движения после прекращения действия возмущения, нарушившего это состояние или режим.

Система устойчива " в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива " в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

3.2. Определить устойчивость замкнутой и разомкнутой системы по известной передаточной функции разомкнутой системы.

Решение.

Характеристическое уравнение разомкнутой системы:

.

Разомкнутая система неустойчива, так как не выполняется необходимое условие устойчивости: положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

Передаточная функция замкнутой системы:

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы будет:

Все коэффициенты характеристического полинома положительны.

Проверяем устойчивость по условию .

Так как , то условие устойчивости выполняется, и замкнутая система устойчива.