Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Образцы решения типовых задач
|
|
№ 1
Капли дождя на окне неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом 
к вертикали. При движении трамвая со скоростью 
полосы от дождя вертикальны. Определить скорость капель в безветренную погоду и скорость ветра 
.
| 
|
| а) | б) |
Рис. 37
Решение
Вертикальная составляющая скорости капли 
не зависит от скорости движения ветра и трамвая (рис. 37, а). Горизонтальная составляющая при неподвижном трамвае определяется скоростью ветра и равна 
. При движении трамвая, согласно условию, полосы от дождя вертикальны (рис. 37, б), и
Из рис. 37, а следует, что скорость капли в безветренную погоду
№ 2
Пловец переплывает реку шириной 
. Скорость течения реки 
, скорость пловца относительно воды 
. Под каким углом 
к течению он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время?
Рис. 38
Решение
Выберем начало системы координат в том месте, где пловец входит в воду (рис. 38). Ось ОX направим вдоль берега по течению, ось ОY – перпендикулярно к берегу. Предположим, что составляет с ОХ угол (рис. 38).
Тогда законы движения для проекций на координатные оси будут:
и
.
Пловец попадает на другой берег, когда 
Следовательно, время, необходимое для переправы, 
. Оно будет минимальным, когда 
максимален, т.е. 
и 
(рис. 39).
Рис. 39
№ 3
Первый автомобиль прошел половину пути 
со скоростью 
, а другую половину – со скоростью 
. Второй автомобиль шел половину времени 
со скоростью 
, а половину времени – с 
. Найти средние скорости каждого автомобиля.
Решение
Средняя скорость определяется по формуле:
. (1)
Для первого автомобиля: 
. (2)
Время движения 
. (3)
Подставив (2) и (3) в формулу (1), получим
Для второго автомобиля: 
. (4)
Путь, пройденный автомобилем,
. (5)
Подставив (4) и (5) в формулу (1), получим
№ 4
По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела: одно равномерно со скоростью 
, а другое равноускоренно без начальной скорости с ускорением 
. Через какое время второе тело догонит первое?
Решение
Так как первое тело движется равномерно, его координата в произвольный момент времени равна: 
.
Второе тело движется равноускоренно без начальной скорости, его координата в произвольный момент времени равна: 
.
Когда второе тело догонит первое, их координаты станут равны:
или 
, откуда 
№ 5
В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. С какой высоты 
и сколько времени 
падало тело?
Решение
I cпособ. Уравнения для путей АС и АВ (рис. 40), пройденных телом с начала падения:
Рис. 40
,
где – время движения тела от точки А до точки С. Решая эту
систему уравнений, получим 
II cпособ. Рассмотрим уравнения для путей АВ и ВС. Для пути АВ имеем
,
где t – время движения тела от точки А до точки В.
Для пути ВС имеем
,
где 
- скорость тела в точке В, – время движения тела от точки В до точки С. Полное время падения 
. Решая эту систему уравнений, получим те же значения 
№ 6
Из окна железнодорожного вагона свободно падает тело. Будет ли одинаковым время свободного падения тела для случаев: а) вагон неподвижен; б) вагон движется с постоянной скоростью; в) вагон движется с постоянным ускорением?
Решение
Во всех трех случаях тело падает в течение одного и того же времени, так как высота падения одна и та же: 
. Движение вагона сказывается только на горизонтальных составляющих скорости и ускорения тела и не влияет на характер его движения по вертикали.
№ 7
Материальная точка движется по окружности радиуса 
равноускоренно с тангенциальным ускорением 
(рис. 41). Через какое время 
после начала движения нормальное ускорение 
станет больше 
в 2 раза? Чему равно полное ускорение в этот момент времени?
Рис. 41
Решение
Известно, что нормальное ускорение 
связано с линейной скоростью выражением 
, а линейная скорость вычисляется через тангенциальное ускорение 
. По условию, в момент времени 
нормальное ускорение 
, следовательно, 
.
Вектор полного ускорения 
равен сумме векторов 
и 
(рис. 41): 
.
Модуль полного ускорения в момент времени равен: 
№ 8
Два грузика с массами 
= 300 г и 
= 200 г соединены нитью, перекинутой через блок, подвешенный на пружинных весах (рис. 42). Определить ускорение грузов, показания пружинных весов и силу натяжения нити. Трением в оси блока и его массой пренебречь.
Решение
Так как трение в оси блока и его масса пренебрежимо малы, то сила натяжения 
вдоль веревки, связывающей грузы, будет одинакова.
Рис. 42
Поэтому уравнения движения для грузов 
и 
будут иметь вид:
Сложив уравнения (1) и (2), получим ускорение 
:
Из уравнения (1) получим силу натяжения 
:
Так как пружинные весы растягиваются с силой 
, их показания 
.
№ 9
Шарик массой 
, подвешенный на нити длиной 
, равномерно вращается по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). Нить при этом отклоняется от вертикали на угол 
(рис. 43). Найти период 
вращения шарика.
Рис. 43
Решение
Равнодействующая силы тяжести 
и силы упругости нити 
направлена к центру окружности и сообщает шарику центростремительное ускорение 
. Так как радиус окружности 
, то 
. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y:
Разделим (1) на (2):
,
где - период вращения шарика.
.
№10
На какую высоту должен быть запущен искусственный спутник Земли, чтобы период его вращения был равен периоду вращения Земли вокруг своей оси? Масса Земли 
.
Рис. 44
Решение
На спутник, двигающийся по круговой орбите, действует сила притяжения Земли (рис. 44):
,
где 
- масса спутника, 
- масса Земли, 
- гравитационная постоянная, 
- радиус Земли, - высота спутника над поверхностью Земли.
Эта сила является центростремительной
и по второму закону Ньютона:
.
Отсюда 
.
Так как скорость 
, где 
(период вращения Земли вокруг своей оси), то
,
отсюда
.
Высота
№ 11
Два шарика с массами 
и 
движутся по горизонтальной поверхности со скоростями 
и 
, направленными под углом 
друг к другу (рис. 45). Найти импульс системы этих шариков.
Рис. 45 Рис. 46
Решение
Импульс системы шариков изобразится вектором 
(рис. 46), который равен сумме векторов 
и 
. Модуль импульса системы шариков найдем по теореме Пифагора: 
.
№ 12
Шарик массой подлетает к стене со скоростью 
по направлению нормали к стене (см. рис. 47) и ударяется об нее.
Рис. 47
1. Указать величину и направление импульса, который стенка сообщила шарику, если: а) удар был абсолютно упругим; б) удар был абсолютно неупругим. 2. С какой средней силой действовал шарик на стенку, если в обоих случаях удар длился секунд?
Решение
Рис. 48
1. Изменение импульса шарика при ударе о стенку равно произведению силы, действующей на шарик, на время ее действия:
.
В проекции на ось Х:
,
где 
- импульсы шарика до и после удара. Так как в результате удара импульс шарика изменил направление на обратное (рис. 47), сохранив модуль 
, то изменение импульса шарика равно 
и направлено от стенки, т. е. 
(рис. 48). Модуль средней силы, с которой шарик действует на стенку: 
.
2. Так как скорость шарика после удара 
, 
. Модуль средней силы, с которой шарик действует на стенку: 
.
№ 13
Шарик массой упруго ударяется о стенку под углом к ее поверхности со скоростью (рис. 49) и отскакивает от нее без потери скорости; угол падения равен углу отражения. Определить величину и направление изменения импульса шарика.
Рис. 49
Решение
Изменение импульса шарика – вектор 
или 
, где 
- импульс шарика до удара, 
- импульс шарика после удара. Так как удар упругий, модули векторов 
и 
одинаковы. Рассмотрим проекции импульсов шарика до и после удара по осям 
и 
(рис. 50).
Рис. 50
Из рис. 50 видно, что проекция импульса по оси не изменилась: 
. А вот проекция импульса по оси изменила знак: 
. Поэтому полный импульс изменился за счет изменения проекции импульса по оси 
:
.
Знак «-» указывает на то, что вектор 
направлен от стены.
№14
Пуля массой попадает в деревянный брусок массой 
, подвешенный на нити длиной (баллистический маятник), и застревает в нем. Определить, на какой угол 
отклонится маятник, если скорость пули .
Решение
Начальную скорость 
маятника можно определить исходя из закона сохранения импульса (рис. 51):
,
В проекции на ось х:
,
Рис. 51
откуда 
.
Высоту , на которую поднимется маятник после удара пули, найдем из закона сохранения энергии:
,
откуда 
.
Теперь легко определить угол :
.
№ 15
Два упругих шара, массы которых 
и 
, подвешены на одинаковых нитях длиной 
(рис. 52). Первый шарик отклонили от положения равновесия на угол 
и отпустили (рис. 53). На какую высоту поднимется второй шарик после удара?
Решение
Закон сохранения энергии для первого шара:
,
откуда 
, где 
- скорость первого шара после спуска с высоты (рис. 54). Законы сохранения энергии при соударении шаров:
,
откуда 
, где 
и 
- скорости шаров после удара.
Закон сохранения импульса:
,
откуда 
. Тогда 
, и тогда 
, 
, 
.
Закон сохранения энергии для второго шара:
,
где 
- высота, на которую он поднимется после удара. В итоге
.
№ 16
В тело массой 
, лежащее на горизонтальной поверхности, попадает пуля массой 
и застревает в нем. Скорость пули 
направлена горизонтально. Какой путь 
пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью 
?
Решение
По закону сохранения импульса, 
, где - общая скорость тела вместе с пулей, 
. До остановки тело с пулей проходит путь 
, изменение кинетической энергии тела с пулей равно работе силы трения:
,
где 
.
Откуда
.
№ 17
Какую работу совершил мальчик, стоящий на гладком льду, сообщив санкам начальную скорость 
относительно льда, если масса санок 
, а масса мальчика 
? Трением о лед полозьев санок и ног мальчика пренебречь.
Решение
Работа мальчика равна изменению кинетической энергии системы «мальчик - санки»
.
По закону сохранения импульса, 
, где - скорость
мальчика. Отсюда
,
и работа
№ 18
Санки съезжают с горы, имеющей высоту 
и угол наклона 
, и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 55). Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен 
. Найти расстояние 
, которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку, до полной остановки.
Решение
Рис. 55
Изменение механической энергии тела равно работе сил трения:
, где
- работа силы трения на наклонном участке;
- работа силы трения на горизонтальном участке.
Тогда 
, откуда 
.
№ 19
Моторы электровоза при движении со скоростью 
потребляют мощность 
. Коэффициент полезного действия силовой установки электровоза 
. Определить силу тяги мотора.
Решение
По определению, коэффициент полезного действия равен отношению полезной мощности к полной: 
, откуда 
№ 20
Найти массу 
воздуха, заполняющего аудиторию высотой 
и площадью пола 
, при нормальном атмосферном давлении и температуре 
. Молярная масса воздуха 
.
Решение
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона
,
где 
- нормальное атмосферное давление, 
- объем комнаты, - масса воздуха, - молярная масса воздуха, 
- температура воздуха по шкале Кельвина.
.
№ 21
Найти плотность 
водорода при температуре 
и давлении 
.
Решение
Воспользуемся формулой 
и уравнением Менделеева-Клапейрона 
. Выразим массу 
из уравнения Менделеева-Клапейрона: 
, тогда 
.
№ 22
В сосуде находятся масса 
азота и масса 
водорода при температуре 
и давлении 
. Найти молярную массу 
смеси газов.
Решение
Запишем закон Дальтона для смеси газов:
, (1)
где 
и 
- парциальные давления азота и водорода соответственно.
Уравнение Менделеева-Клапейрона для нахождения парциальных давлений азота и водорода 
и 
и давления 
смеси газов:
, (2)
(3)
. (4)
Выразим , и 
из уравнений (1) - (3) и подставим в уравнение (1): 
, и
№ 23
В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится кислород массой 
. Для повышения температуры кислорода на 
ему было сообщено количество теплоты 
. Найти работу, совершаемую газом при расширении, и увеличение его внутренней энергии. Молярная масса кислорода 
.
Решение
На поршень действуют три силы: сила тяжести, сила атмосферного давления извне и сила давления кислорода изнутри. Первые две силы не изменяются. Так как поршень в любой момент времени находится в равновесии, то во время нагревания давление кислорода не изменяется.
Работа расширения газа при постоянном давлении 
, где 
- начальный и конечный объемы газа. Уравнения состояния газа: до нагревания 
, после нагревания 
. Выразив из уравнений 
, найдем 
.
Запишем первый закон термодинамики 
, отсюда выразим 
.
№ 24
В цилиндре объемом 
под поршнем находится газ при температуре 
. Найти работу расширения газа при его нагревании на 
, если вес поршня 
, его площадь 
и атмосферное давление 
.
Решение
Давление в цилиндре постоянно и равно сумме атмосферного давления 
и давления поршня 
: 
. Работа, совершаемая газом при расширении при постоянном давлении, 
, где 
- конечный объем газа. По закону Гей-Люссака 
, откуда 
и 
. Таким образом, 
.
№ 25
Нагреватель идеальной тепловой машины имеет температуру 
, холодильник – 
. Количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя за 1 с, равно 
. Вычислить КПД тепловой машины, ее мощность и количество теплоты, отдаваемое холодильнику за 
.
Решение
Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепловой машины:
.
КПД также можно выразить через количество теплоты, отданное нагревателем 
, и количество теплоты, отданное холодильнику 
:
Отсюда 
.
Мощность 
тепловой машины связана с работой 
за цикл:
.
№ 26
Какую работу совершает газ, количество вещества которого 
, при изобарном повышении температуры на 
?
Решение
Работа расширения газа при постоянном давлении 
, где 
- начальный и конечный объемы газа. Уравнения состояния газа: до нагревания 
, после нагревания 
. Выразив из уравнений , найдем 
.
№ 27
Какая часть количества теплоты, сообщенного идеальному газу в изобарном процессе, идет на увеличение его внутренней энергии, а какая часть – на совершение работы?
Решение
Согласно первому закону термодинамики , найдем выражения для 
и .
Работа расширения газа при постоянном давлении 
.
Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа 
.
Тогда 
. Часть количества теплоты, которая идет на увеличение внутренней энергии газа, равна 
.
Часть количества теплоты, которая идет на совершение работы, равна 
.
№ 28
Три одинаковых точечных заряда 
находятся в вершинах равностороннего треугольника со сторонами 10 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.
Решение
Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно рассмотреть один из них, например, заряд 
. На него действуют две силы 
и 
, равнодействующая которых равна 
(см. рис. 56):
.
Модуль вектора силы 
найдем по теореме косинусов, при этом учтем, что 
, и применим закон Кулона:
угол между векторами 
и 
,
Произведем вычисления: 
.
Рис. 56
№ 29
Свинцовый шарик (r1 = 11, 3 г/см3) диаметром 0, 5 см помещен в глицерин (r2 = 1, 26 г/см3). Определить заряд шарика, если в однородном электростатическом поле шарик оказался взвешенным в глицерине. Электростатическое поле направлено вертикально вверх, и его напряженность 4 кВ/см.
Решение
На шарик действуют три силы 
, равнодействующая которых равна нулю (см. рис. 57):
Рис. 57
, (1)
где 
– сила со стороны электрического поля,
сила Архимеда,
сила тяжести.
В проекции на ось у уравнение (1) имеет вид:
.
Подставим в уравнение (2) формулы для 
После преобразований получим: 
.
Произведем вычисления: 
.
№ 30
Два точечных заряда 
и 
находятся друг от друга в вакууме на расстоянии 60 см. Определите напряженность поля в точке, расположенной посередине между зарядами.
Решение
По принципу суперпозиции электрических полей (см. рис. 58):
Рис. 58
Модуль вектора 
равен
где 
см.
Произведем вычисления: 
.
№ 31
Расстояние между двумя точечными зарядами 
и 
, расположенными в вакууме, равно 25 см. Определить напряженность поля, создаваемого этими зарядами в точке, удаленной от первого заряда на расстояние 20 см и от второго заряда на 15 см.
Решение
По принципу суперпозиции электрических полей (см. рис. 59):
Рис. 59
Модуль вектора найдем по теореме Пифагора (т.к. стороны образованного треугольника относятся как 3: 4: 5):
Произведем вычисления: 
.
№ 32
Определить ускоряющую разность потенциалов, которую должен пройти в электрическом поле электрон, чтобы его скорость возросла от 
и 
.
Решение
Работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии электрона:
где 
- ускоряющая разность потенциалов, 
– заряд электрона,
– масса электрона.
Отсюда искомая разность потенциалов:
Произведем вычисления: 
.
№ 33
Электростатическое поле создается сферой радиусом 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1 нКл/м2. Определить разность потенциалов между двумя точками поля, расположенными на расстояниях 10 см и 15 см от центра сферы.
Решение
Разность потенциалов между двумя точками поля, расположенными на расстояниях 
от центра сферы, определяется:
где 
поверхностная плотность заряда, 
радиус сферы, 
расстояния от центра сферы до точек поля.
Произведем вычисления: 
0, 94 В.
№ 34
Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С = 10 пФ заряжен до разности потенциалов U 1= 500 В. После отключения конденсатора от источника тока расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в 3 раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин.
Решение
После отключения конденсатора от источника тока заряд на нем остается прежним, т.е. 
:
Отсюда
Произведем вычисления: 
1500 В.
Работу внешних сил по раздвижению пластин определим как разность энергий конденсатора:
, так как 
Произведем вычисления: 
2, 5 мкДж.
№ 35
Общее сопротивление двух последовательно соединённых проводников 5 Ом, а параллельно соединённых 1, 2 Ом. Определить сопротивление каждого проводника.
Решение
Общее сопротивление при последовательном соединении двух проводников определяется формулой:
Общее сопротивление при параллельном соединении двух проводников определяется формулой:
.
Решаем систему:
Произведем вычисления: 
3 Ом и 
2 Ом.
№ 36
Гальванический элемент даёт на внешнее сопротивление 0, 5 Ом силу тока 0, 2 А. Если внешнее сопротивление заменить 0, 8 Ом, то ток в цепи 0, 15 А. Определить силу тока короткого замыкания.
Решение
Ток короткого замыкания определяется при внешней нагрузке, равной нулю:
где 
– ЭДС гальванического элемента, 
внутреннее сопротивление.
Чтобы найти ЭДС и внутреннее сопротивление, воспользуемся законом Ома для замкнутой цепи:
Отсюда: 
,
.
Произведем вычисления: 
0, 4 А.
№ 37
Амперметр сопротивлением 0, 18 Ом предназначен для измерения силы тока до 10 А. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим амперметром можно было измерять силу тока до 100 А?
Решение
Для расширения пределов измерения по току параллельно амперметру подключают сопротивление, называемое шунтом (см. рис. 60). В данной задаче расширяют пределы измерения в n = 10 раз:
Рис. 60
Из рис. 60 видно, что 
Делаем преобразования:
Произведем вычисления: 
.
№ 38
Вольтметр сопротивлением 2000 Ом предназначен для измерения напряжения до 30 В. Какое сопротивление надо взять и как его включить, чтобы этим вольтметром можно было измерять напряжение до 75 В?
Решение
Для расширения пределов измерения по напряжению последовательно вольтметру подключают сопротивление, называемое дополнительным (рис. 61). В данной задаче расширяют пределы измерения в 
= 2, 5 раза:
Рис. 61
Из рис. 61 видно, что 
Делаем преобразования:
Произведем вычисления: 
.
ОГЛАВЛЕНИЕ
|