Примеры решения задач.

1. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М (1; 0; 0)

параллельно плоскости x + y + z = 0.

◄ Нормальным вектором плоскости x + y + z = 0 является вектор =(1; 1; 1).

Он же будет вектором нормали и для искомой плоскости, т.к. плоскости

параллельны друг другу. Запишем уравнение плоскости, проходящей через

точку М (1; 0; 0) перпендикулярно вектору .

или х + у + z – 1 = 0 ►

2. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью

3 x - 4 y + 5 z - 60 = 0.

◄ Разделив обе части уравнения плоскости на 60, получим:

.

Сравнивая это уравнение с формулой уравнения плоскости в отрезках, заключаем, что а = 20, b = -15, c = 12.

Таковы величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ох, Оу, Oz

соответственно. ►

3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (0; 2; 1)

параллельно вектору =(2; 0; 1).

◄ Задача имеет единственное решение, т.к. векторы =(-1; 1; 0) и =(2; 0; 1) неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плоскости может быть взят вектор

Уравнение плоскости имеет вид:

или х + у – 2 z = 0

Так как в последнем уравнении отсутствует свободный член, то плоскость

проходит через начало координат. ►

4. Найти расстояние между параллельными плоскостями x + 2 y + 2 z – 1 = 0 и

x + 2 y + 2 z + 5 = 0.

◄ Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой.

Выберем на первой плоскости произвольную точку М₀(х₀; у₀; z₀). Например,

если х₀ = у₀ = 0, то z₀ = 0, 5 и М₀ (0; 0; 0, 5). По формуле (31) находим:

. ►

5. Среди следующих пар прямых и плоскостей указать параллельные или

перпендикулярные; в случае пересечения прямой и плоскости найти точку

пересечения:

◄ 1) Направляющим вектором прямой является вектор = (3; 3; -5), а

нормальным вектором плоскости = (7; -2; 3). Эти векторы перпендикулярны,

т.к. = 3 · 7 + 3· (-2) + (-5) · 3 = 0. Поэтому прямая и плоскость параллельны.

2) Векторы = (2; 3; 4) и = (1; -1; 1) не коллинеарны и не ортогональны.

Поэтому прямая пересекает плоскость.

Для определения координат точки пересечения нужно решить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив систему, получим М₀ (2; 4; 5). ►

6. Прямая задана уравнениями:

Написать канонические уравнения этой прямой.

◄ Точка М (0; 2; 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой и, следовательно,

лежит на прямой. В качестве направляющего вектора этой прямой можно взять

вектор , где =(1; 1; -1), =(2; -1; 0) – нормальные векторы

плоскостей, линией пересечения которых является данная прямая.

Таким образом,

и канонические уравнения прямой имеют вид:

►

7. Заданы скрещивающиеся прямые

Найти расстояние между ними.

◄ Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую l ₁ параллельно l ₂.

Точка М (0; 1; -2) лежит на прямой l ₁ и, следовательно, принадлежит плоскости Р. В качестве вектора нормали к Р возьмем

Тогда уравнение плоскости Р имеет вид:

- 2 х – (у – 1) – 4(z +2) = 0 или 2 x + y + 4 z + 7 = 0.

Искомое расстояние равно расстоянию от любой точки прямой l ₂ до плоскости Р. Выберем точку N (-1; -1; 2) на прямой l ₂.

.►