Решение. Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение

Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): h_шв = 0, 2 м, b_шв = 0, 08 м, F_шв = 25, 2× 10^-4м², = 1670× 10^-8м⁴, = 139× 10^-8м⁴, = 0, 0228 м.

Уголок (80´ 80´ 8)× 10^-9 м³ (ГОСТ 8509-72): b_уг = 0, 08 м, F_уг = = 12, 3× 10^-4 м², = 73, 4× 10^-8 м⁴, = 116× 10^-8 м⁴, =30, 3× 10^-8 м⁴, = 0, 0227 м.

Полоса b_П × d _П = 18× 1× 10^-4 м², F_П = b_П × d _П = 18× 1× 10^-4 м² = 18× 10^-4 м²;

м⁴, = 486× 10^-8 м⁴.

1. Определение общей площади составного сече­ния. Общая площадь составного сечения определяется по фор­муле:

F = F_шв + F_уг + F_П, F = (25, 2 + 12, 3+18)× 10^-4 = 55, 5× 10^-4 м².

2. Определить центр тяжести составного сече­ния. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_шв и y_шв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих че­рез его центр тяжести. Для определения указанных момен­тов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выра­жающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

(3.16)

(3.17)

(3.18)

В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:

Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

= [1670 + 25, 2(-1, 7)² + 73, 4 + 12, 3(-9, 43)² + 1, 5 + 18× (8, 8)²]× 10^-8 = = 4305, 4× 10^-8 м⁴.

= [139 + 25, 2(1, 42)² + 73, 4 + 12, 3(-3, 13)² + 486 +18(0, 14)²)× 10^-8 = = 870, 1× 10^-8 м⁴.

При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где a - угол между осью x и главной осью x ₀ уголка. Этот угол может быть положительным или отрицатель­ным. В нашем примере a = +45°, поэтому:

Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0 + 25, 2 × (-1, 7) × 1, 42 + 42, 85 + 12, 3 × (-9, 43) (-3, 13) + 0 +

+ 18 × 8, 8 × 0, 14] × 10^-8 = 367, 2× 10^-8 м⁴.

4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции x_C и y_C определим по формуле:

.

Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания по­ложения главной оси максимального момента инерции u следует ось x ₀, осевой момент инерции относительно которой имеет наи­большее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендику­лярна оси u.

5. Определить величины главных центральных мо­ментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка: I _max + I _min = = const;

I _max + I _min = (4344, 55 + 830, 95)× 10^-8 = (5175, 5)× 10^-8 м⁴;

= (4305, 4 + 870, 1)× 10^-8 = (5175, 5)× 10^-8 м⁴.

2-ая проверка: I _max > > > 0;

4344, 55 × 10^-8 > 4305, 4× 10^-8 > 870, 1× 10^-8 > 830, 95× 10^-8 м⁴.

Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычис­ления моментов инерции составного сечения.

6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам: