Лекция 3-4. Основные теоремы теории вероятности. СС-3

Формула полной вероятности.

Пусть появление некоторого события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий В_i, образующих полную группу и называемых гипотезами.

Тогда вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятности каждой из этих гипотез В_i на соответствующую условную вероятность появления события А.

Формулы Байеса.

Пусть появление в некотором испытании события А возможно лишь при наступлении одного n из попарно несовместных событий В_i, образующих полную группу и называемых гипотезами.

Тогда, зная вероятности гипотез Р(В_i) до проведения испытания, мы можем переоценить их после проведения испытания, в результате которого появилось событие А.

,

где - вероятности гипотез, вычисленные после проведения испытания, при условии, что событие А произошло (апостериорные вероятности гипотез); Р(А) – полная вероятность события А,

Р(В_i) – вероятности гипотез, известные до испытания (априорные вероятности гипотез),

— вероятность наступления события А при истинности гипотезы В_i.

Теорема Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, принимая во внимание как ранее известную информацию (априорные данные), так и данные новых наблюдений (апостериорные данные).

Вычисление вероятностей событий в серии независимых испытаний.

Схема Бернулли - последовательность независимых испытаний (т.е. таких испытаний, вероятность исходов которых не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предшествующих испытаний) с двумя возможными исходами. Вероятность первого исхода - А, называемого успехом, в каждом испытаний равна р, тогда вероятность второго исхода – неуспеха, равна разности единицы и р: Р(А)=р Р()=1-р=q.

Формула Бернулли

Вероятность, что в серии из n испытаний по схеме Бернулли, событие А, произойдёт ровно k раз:

, где число сочетаний из “n” элементов по “k” элементов в каждом.

р – вероятность наступления события А в одном испытании, –вероятность не наступления события А в одном испытании, n – общее число испытаний, k – число успехов в серии из n испытаний.

Теорема Лапласа: применяется при больших значениях n, когда формулу Бернулли использовать сложно.

Пусть Р(А)=р – вероятность проявления события А в одном испытании,

тогда вероятность, что в серии из n независимых испытаний событие А произойдёт точно k раз приблизительно вычисляется по формуле Лапласа:

, где ; где , .

Интегральная теорема Лапласа. – позволяет определить вероятность того, что событие А в n независимых испытаниях произойдёт не менее и не более раз.

, где , ;

Значения функций и приводятся в таблицах (см тб. 1 и 2)

Закон Пуассона распределения вероятностей массовых и редких событий.

-вероятность того, что в серии из n испытаний «успех» произойдёт ровно k раз.

где , n – общее число независимых испытаний, р – вероятность «успеха» в одном испытании.

Формула Пуассона применяется, когда n – очень велико, а р – достаточно мало.