Методическая разработка

для студентов фармацевтического факультета

к практическому занятию по теме:

«Доверительные интервалы параметров нормального распределения»

1. Научно - методическое обоснование темы:

Под выборочными характеристиками распределения будем понимать основные числовые характеристики выборочной статистической совокупности: среднюю выборочную, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение. Ценность этих выборочных характеристик определяется тем, что с их помощью можно оценить соответствующие числовые характеристики генеральной совокупности. Причем различают так называемые точечные оценки этих характеристик и их интервальные оценки.

2. Краткая теория:

Оценка характеристики распределения называется интервальной, если она определяется двумя числами - границами интервала, содержащего оцениваемую характеристику.

В математической статистике используют так называемые доверительные интервалы, соответствующие заданной доверительной вероятности.

Доверительной вероятностью (надежностью) оценки числовой характеристики с помощью доверительного интервала называется вероятность того, что эта характеристика находится в данном интервале.

Чем шире доверительный интервал, тем выше соответствующая доверительная вероятность, и наоборот: чем большую доверительную вероятность мы хотим обеспечить, тем большим окажется соответствующий доверительный интервал.

В фармации, медицине и биологии доверительную вероятность принимают равной 0, 95 или 0, 99.

Рассмотрим метод нахождения доверительного интервала для заданной доверительной вероятности при оценке генеральной средней по результатам выборочных наблюдений. Предполагается, что изучаемый признак в генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Метод основан на использовании распределения Стьюдента для случайной величины

, (1)

где

= , (2)

- исправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной.

Полуширина доверительного интервала для интервальной оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности находится по формуле

, (3)

где - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности и числа степеней свободы . Тогда интервальная оценка генеральной средней представляется доверительным интервалом

, (4)

в котором с доверительной вероятностью находится генеральная средняя .

Пример. При доверительной вероятности дать интервальную оценку генеральной средней количества листьев на комнатных растениях определенного вида по данным примера 1.

Решение. По формуле (2) найдем исправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной

.

По таблицам, для доверительной вероятности и числа степеней свободы распределения Стьюдента находим соответствующее значение коэффициента Стьюдента: . По формуле (4) для полуширины доверительного интервала получаем

.

Учитывая, что , окончательно получаем, что с доверительной вероятностью 0, 95 генеральная средняя количества листьев на комнатных растениях рассматриваемого вида находится в интервале .

3. Цель деятельности студентов на занятии:

Студент должен знать:

1. Понятие интервальной оценки числовой характеристики.

2. Определение доверительной вероятности и доверительного интервала.

3. Распределение Стьюдента.

Студент должен уметь:

Находить доверительный интервал при оценке генеральной средней для нормально распределенного изучаемого признака.

4. Содержание обучения:

Теоретическая часть:

1.Интервальные оценки числовых характеристик генеральной совокупности

2. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Практическая часть:

1.При подсчете количества листьев на каждом из 25 комнатных растений определенного вида получены следующие результаты:

7, 12, 10, 11, 8, 9, 10, 7, 13, 12, 8, 9, 10, 12, 11, 11, 7, 8, 9, 12, 12, 13, 13, 8, 10. При доверительной вероятности γ = 0, 95 дать интервальную оценку генеральной средней количества листьев на растениях.

2.Из продукции, произведенной фармацевтической фабрикой за месяц, случайным образом отобраны 15 коробочек некоторого гомеопатического препарата, количество таблеток в которых оказалось равным соответственно 50, 51, 48, 52, 51, 50, 49, 50, 47, 50, 51, 49, 50, 52, 48. Дать интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0, 95) оценку среднего количества таблеток в коробочках с данным видом продукции, выпущенной фабрикой за месяц.

3.При измерении артериального давления у случайным образом отобранных 30 пациентов клиники получены следующие результаты (в мм рт.ст.): 151, 166, 133, 155, 179, 148, 143, 128, 138, 172, 163, 157, 158, 136, 169, 153, 142, 147, 134, 164, 167, 131, 152, 145, 176, 122, 149, 154, 161, 156. Дать интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0, 95) оценку среднего значения артериального давления у всех пациентов клиники.

4.При 12-кратном измерении температуры раствора серной кислоты получены следующие значения: 20, 0; 20, 3; 20, 0; 20, 2; 19, 5; 20, 5; 19, 7; 20, 0; 20, 4; 20, 0; 19, 6; 19, 8. Дать интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0, 95) оценку истинной концентрации раствора.

5.При 5- кратном измерении диаметра Д и высоты Н цилиндра получены следующие результаты (в см):

Дать интервальную (с доверительной вероятностью, равной 0, 95) оценку истинного объема цилиндра.

5. Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:

1. Какая оценка характеристики распределения называется интервальной?

2.Дайте определение доверительного интервала и доверительной вероятности.

3.Какую доверительную вероятность принимают в фармации при решении статистических задач?

6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:

1. Чем определяется ценность выборочных характеристик распределения?

2. Запишите формулу распределения Стьюдента для случайной величины.

3. Что называется исправленным средним квадратическим отклонением средней выборочной?

4. Запишите формулу для полуширины доверительного интервала для интервальной оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности.

7. Хронокарта учебного занятия:

1. Организационный момент – 5 мин.

2. Разбор темы – 20 мин.

3.Решение ситуационных задач - 40 мин.

4. Текущий контроль знаний -30 мин.

5. Подведение итогов занятия – 5 мин.

8. Перечень учебной литературы к занятию:

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, § 9.3.

2. Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, § 8.2.

3.Ремизов А.Н., Максина А.Г., Потапенко А.Я. Медицинская и биологическая физика. М., «Дрофа», 2008, § 3.2.