Численное интегрирование методами прямоугольников и трапеций

3. В данных численных методах подход к вычислению I состоит в том, что отрезок [а, b] разбивают множество меньших интервалов. Разобьем [а, b] на n равных частей, таким образом, определим (n+1) точку. Число разбиений n выбирают достаточно большим.

h-шаг интегрирования (в документе Calc будем обозначать его dh), соответствующие значения функции будем обозначать .

Рассчитаем таблицу подынтегральной функции данной задачи. Разобьем отрезок интегрирования на n=100 частей, рассчитаем шаг dh=(b-a)/2 (где а-нижний предел интегрирования, а b- верхний). Заполним таблицу (см.рис.).

В данном случае i- номер точки, h- значение независимой переменной в данной точке (соответствует x_i в схеме метода прямоугольников слева), h(H-h)^2 –значение подынтегральной функции (соответствует y_i в схеме метода прямоугольников слева). Первым значением во второй колонке должен быть нижний предел интегрирования (для рассматриваемой задачи x₀=a=0), а последним – верхний предел (для рассматриваемой задачи x₁₀₀=b=H/2).

4. Построим график подынтегральной функции, чтобы убедиться, что она гладкая и не терпит разрывов на отрезке интегрирования.

5. Организуем таблицу для значений интеграла, вычисленных различными методами, и перенесем туда уже подсчитанное аналитическое значение.

Рассчитаем значение интеграла различными методами. Обратите внимание, что методы прямоугольников слева и справа отличаются лишь пределами суммирования.

В методе прямоугольников криволинейную трапецию, ограниченную функцией f(x) на каждом отрезке [x_i, x_i+1] заменяют на прямоугольник.

В методе прямоугольников слева

В методе прямоугольников справа

Поэтому, получить значение интеграла можно, просуммировав нужные значения подынтегральной функции из таблицы и умножив эту сумму на шаг dh и на константу, которую вынесли за интеграл (в данном случае ) – см. рис. ниже. Если подынтегральная функция в точках a и b (пределах интегрирования) имеет одинаковые значения, то значения, полученные в методах прямоугольников слева и справа, также будут одинаковы.

6. Найдем интеграл методом трапеций. В этом методе

То есть является полусуммой значений, полученных методами прямоугольников слева и справа. Найдите это значение и запишите в таблицу.

7. Действуя аналогично описанному в пп.3, 5, 6, вычислите значение шага интегрирования, таблицы подынтегральной функции и найдите значение интеграла при разбиении отрезка интегрирования на n=50 и n=10 частей и впишите в таблицу.