Метод простых итераций и метод Зейделя

Для решения СЛАУ итерационными метода преобразуем систему от формы (2.1.1) к виду (2.4.1):

(2.4.1)

В общем виде рекуррентная форма для i уравнения имеет вид (2.4.2):

(2.4.2)

Задав столбец начальных приближений подставим их в правые части системы (2.4.1) и вычислим новые приближения , которые опять подставим в систему (2.4.1) и т.д. Это можно представить в таком виде (2.4.3):

(2.4.3)

Процесс (2.4.3) можно видоизменить, если использовать приближения к решениям, найденными при выполнении текущей итерации. Такое изменение известно как метод Зейделя, и как правило, приводит к ускорению сходимости (2.4.4):

(2.4.4)

Заканчивается итерационный процесс, когда выполняется условия (2.4.5):

(2.4.5)

где - заданная погрешность, .

Для сходимости итерационных методов необходимо, чтобы значения диагональных элементов матрицы СЛАУ были преобладающими по абсолютной величине по сравнению с другими элементами (2.4.6):

(2.4.6)

для каждой i – строки.

Условие сходимости можно обеспечить преобразованием исходной матрицы путем перестановки уравнений и неизвестных.

Методы Зейделя и простых итераций имеют разные области сходимости.

Программный код для метода простых итераций:

do{

flag=0;

for(i=0; i< n; i++) x[i]=x1[i];

for(i=0; i< n; i++)

{

s=a[i][n];

for(j=0; j< n; j++) s = s+a[i][j]*x[j];

s=s/a[i][i];

s=s+x[i];

x1[i]=s;

}

for(i=0; i< n & & flag==0; i++) if((fabs(x1[i]-x[i])> e) flag==1;

}while(flag==1);