в скалярной и векторно-матричной формах

Файл dX5.m:

function dZ=dX5 (T, Z);

%Система из 3 уравнений, вектор производных столбец.

Tau=[0 0.1 1];

K=0.2; Td=5;

dx1=K*(1-Z(3));

dx2=(Td*dx1+Z(1)-Z(2))/Tau(2);

dx3=(Z(2)-Z(3))/Tau(3);

dZ=[dx1; dx2; dx3];

Файл AXB.m:

function dZ=AXB(T, Z)

%Система из 3 уравнений, вектор производных столбец.

%Пример составления матриц А, В и С

K=0.5; Tau2=0.5; Tau3=0.5; X0=1;

A=[0 0 -K; 1/Tau2 -1/Tau2 0; 0 1/Tau3 -1/Tau3];

B=[K 0 0]';

C=[0 0 1];

dZ=[A*Z+B*X0];

Y=C*Z;

4.9. Краткий обзор методов интегрирования систем ОДУ с помощью MATLAB.

Для решения систем ОДУ в MATLAB имеется 7 солверов: ode45, ode23, ode113,

оde15s, ode23s, ode23t, ode23tb.

ode45 использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка;

ode23 использует метод Рунге-Кутта 2-го порядка;

ode113 использует метод Адамса переменного порядка;

Добавление s означает, что метод можно использовать для жестких систем.

ode15s использует многошаговый метод Гира с изменением порядка;

ode23s использует одношаговый метод Розенброка 2-го порядка;

ode23t использует неявный метод 2-го порядка с интерполяцией. Его можно использовать для умеренно жестких задач.

оde23tb использует неявный метод 2-го порядка с дифференцированием назад. Он может быть эффективнее, чем оde15s.

Обращение к любой стандартной функции одинаково, например:

[t, x]=ode45(fun, interval_t, x0), где

t – вектор-столбец (время),

x – вектор-столбец интегрируемых переменных,

fun – вектор- столбец производных (правые части дифференциальных уравнений),

interval­_t – интервал времени, например, от 0 до 10 сек [0, 10],

x0 – начальные значения переменных (вектор-столбец), например, нулевые [0; 0; 0].

Для решения большинства задач ТАУ солвер ode45 дает хорошие результаты. Солвер

ode23 следует применять для задач с умеренно жесткими системами, когда требуется относительно невысокая точность. Для нежестких систем, когда требуются расчеты с высокой степенью точности, следует применять ode113. Он особенно эффективен для систем со сложными выражениями правых частей дифференциальных уравнений.

Для жестких систем наиболее подходит солвер ode15s. Если требования к точности слабее следует применять ode23s.

По умолчанию для всех солверов относительная точность , а абсолютная .

Все солверы допускают использование параметров для контроля и управления вычислениями. Приведем некоторые из них.

Таблица 4.1.

Значение параметров задается в управляющей структуре, создаваемой функцией odeset: оptions = odeset (…, “Имя параметра“, Значение, …). Например:

options = odeset(‘RelTol’, 1.0e-04);

[t, x] = ode45(‘AXB’, [0 10], [ 0 0 0], options)

Если заданы выходные параметры, то они выдаются на экран. Если они не заданы, то на экран выдаются графики результатов расчета.

Для детального знакомства с возможностями управления результатами решения систем дифференциальных уравнений следует обращаться к более подробным описаниям MATLAB.

Приведем программу интегрирования системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка:

Файл rks4.m:

function Z=rks4(F, a, b, Za, M);

h=(b-a)/M;

T=zeros(1, M+1);

Z=zeros(M+1, length(Za));

T=a: h: b;

Z(1,:)=Za;

for j=1: M

k1=h*feval(F, T(j), Z(j,:));

k2=h*feval(F, T(j)+h/2, Z(j,:)+k1/2);

k3=h*feval(F, T(j)+h/2, Z(j,:)+k2/2);

k4=h*feval(F, T(j)+h, Z(j,:)+k3);

Z(j+1,:)=Z(j,:)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

end

plot(T, Z(:, 2), 'b')

grid on

% Обращение Z=rks4('prch2', 0, 15, [0 0], 150);

Ф айл prch2.m

function dZ=prch2(t, Z)

%Правые части системы 2-го порядка.

%Для методов Эйлера и Рунге-Кутта.

%На входе системы u=1[t].

k=1; tau=1; u=1;

e=u-Z(2);

dx1=k*e;

dx2=(Z(1)-Z(2))/tau;

dZ=[dx1, dx2];

Задание для самостоятельной работы:

1. Прочитать задание и методические указания для курсовой работы.
2. Научиться приводить к форме Коши все варианты задач (10 вариантов).
3. Научиться приводить к векторно-матричной форме системы скалярных

дифференциальных уравнений и системы, описанные передаточными функциями.

Задачи для самостоятельной работы содержатся в задании на курсовой проект и методических указаниях, поясняющих основные условия его выполнения.