Отделение корней. При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Постановка задачи

При решении практических задач часто приходится сталкиваться с решением уравнений. Всякое уравнение с одним неизвестным можно записать в виде

(1)

Найти точные значения корней уравнения (1) можно только в исключительных случаях, кроме того коэффициенты некоторых уравнений являются приближенными числами, и, следовательно, вопрос о нахождении точных корней вообще не может быть поставлен.

Поэтому большое значение приобретают методы приближенного вычисления корней уравнения (1). Задача нахождения корней считается решенной, если корни вычислены с заданной степенью точности.

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на 2 этапа:

1) отделение корней;

2) уточнение корней до заданной степени точности.

Отделение корней.

Корень уравнения считается отделенным на отрезке [a, b][1], если на этом отрезке уравнение не имеет других корней. Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами - графическим и аналитическим.

Графический метод.

Строят график функции для уравнения (1) или представляют уравнение в виде и строят графики функций и . Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью Ox или абсциссами точек пересечения графиков функций и . Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.

Графический способ отделения корней не обладает большой точностью. Он дает возможность грубо определить интервалы изоляции корня.

Аналитический метод.

Аналитически корни уравнения (1) можно отделить, используя свойства функ-ций, известные из курса математического анализа.

à Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения .

à Если функция непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [a, b] существует корень уравнения и притом единственный.

Можно рекомендовать следующий порядок действий для отделения корней аналитическим методом.

1) Найти - первую производную.

2) Составить таблицу знаков функции, полагая равным: а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним; б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).

3) Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только по одному корню.