Решение линейного дифференциального уравнения теплопро-. водности для двухмерного стационарного процесса

водности для двухмерного стационарного процесса

Дифференциальное уравнение теплопроводности для двухмерного ста-ционарного процесса без учета зависимости теплофизических коэффициентов от температуры имеет вид:

. (46)

Чтобы перейти к уравнению в конечных разностях вторые производные температуры заменяем приближенными выражениями:

(47)

В результате имеем уравнение в конечных разностях:

(48)

При Dx = Dy получим:

(49)

т.е., температура узла равна среднему арифметическому температур соседних узлов.

Далее эту формулу преобразуют для организации итерационного процесса:

(50)

В результате имеем формулу ускоренного метода Либмана:

(51)

Коэффициент w лежит в интервале от 1 до 2. Подбор его значения позволяет значительно ускорить решение – число итераций сокращается в 8-10 раз.

Рассмотрим расчет стационарного температурного поля в поперечном сечении стержня квадратного сечения (рис. 8) при следующих граничных ус-ловиях

- изотермическая граница сверху сечения: 1) T(x, l) = 100; 0 < x< l;

- адиабатическая граница снизу: 2)

- изотермическая и адиабатическая границы слева:

3) T( 0, y) = 0; 0 < y< l/2; 4)

- изотермическая и адиабатическая границы справа:

5) T(l, y) = 0; 0 < y< l/2; 6)

Рис. 8. К решению дифференциального уравнения теплопроводности

для стационарного процесса

Будем считать, что Dx=Dy и m=n=20.

Чтобы учесть граничные условия при решении системы конечно-разност-ных уравнений, температуры дополнительных узлов на границах должны задаваться соответственно следующим образом:

1) T_{i, 21}=100 при i=1, 2, … 20; 2) T_{i, 0}= T_{i, 1} при i=1, 2, … 20;

3) T_{0, j}=0 при j=1, 2, … 10; 4) T_{0, j}= T_{1, j} при j=11, 12, … 20;

5) T_{21, j}=0 при j=1, 2, … 10; 6) T_{21, j}= T_{20, j} при j=11, 12, … 20;