Задание. Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры, метод Гаусса

Контрольная работа №1

Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры, метод Гаусса

Задание

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы методом исключения Гаусса.

2. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

Решение:

1)

Задана матрица коэффициентов при неизвестных:

.

Вектор правой части зададим самостоятельно:

.

Для решения заданной системы уравнений воспользуемся методом исключения Гаусса. Решение будем производить в пакете MS Excel.

2)

Откроем чистый лист MS Excel, назовем его «Задание 1». Введем на нем расширенную матрицу системы в ячейки A 3: E 6.

Производим прямой ход метода Гаусса.

1-ый шаг: делим элементы первой строки на элемент . Для этого в ячейку A 8 вводим формулу =A 3 / $ A $3 и автозаполняем этой формулой ячейки с A 8: E 8. Элементы строки A 9: E 9 получаем по формуле: =A 4 –A 8 (далее автозаполнние). Элементы строки A 10: E 10 остаются без изменения, т.е. они равны соответствующим элементам строки A 5: E 5. Элементы строки A 11: E 11 получаем по формуле: =A 6 –A 8 * $ A $6. Т.о. мы исключили неизвестное из 2-го, 3-го и 4-го уравнений.

2-ой шаг: Исключим неизвестное из всех уравнений, начиная с 3-го. При этом первое уравнение останется неизменным, т.е. строка A 13: E 13 получается по формуле: =A 8. Делим элементы второй строки на элемент расширенной матрицы после первого шага. Т.о. элементы строки A 14: E 14 получаем по формуле: =A 9 / $ B $9. Элементы строки A 15: E 15 получаем так: =A 10 –A 14 * $ B $10. Элементы строки A 16: E 16 неизменны: =A 11.

3-й шаг: Исключим неизвестное из уравнения четыре. При этом первые два уравнения останутся неизменными, т.е. строка A 18: E 18 и строка A 19: E 19 получены соответственно: =A 13 и =A 14. Делим элементы третьей строки на элемент расширенной матрицы после второго шага. Т.о. элементы строки A 20: E 20 получаем по формуле: =A 15 / $ C $15. Элементы строки A 21: E 21 получаем так: =A 16– A 20 * $ C $16.

Итак, после 3-го шага матрица коэффициентов приведена к треугольному виду. При этом из последнего 4-го уравнения исключены все переменные, кроме . Начиная с этого уравнения, производим обратный ход метода Гаусса.

Неизвестная равна непосредственно элементу вектора правой части в полученной после 3-го шага расширенной матрицы. Т.о. в ячейку H 5 записываем значение E 21. Значение неизвестной запишем в ячейку H 4: =E 20 -D 20 *H 5. Ячейка H 3: =E 19– D 19 *H 5– C 19 *H 4. И наконец, ячейка H 2: =E 18– D 18 *H 5– C 18 *H 4– B 18 *H 3.

Итак, решением заданной системы уравнений является вектор: , , , .

3)

Сделаем проверку полученного решения, используя надстройку среды MS Excel «Поиск решения». Для этого зададим расширенную матрицу в ячейки A 26: E 29. В ячейки I 26: I 29 зададим первое приближение решения . В ячейки F 29: F 29 запишем результат перемножения матрицы коэффициентов и вектора неизвестных , используя встроенную функцию MS Excel – МУМНОЖ. Для этого введем в ячейку F 26 формулу: =МУМНОЖ(A 26: D 29; I 26: I 29). После чего выделим ячейки F 26: F 29 нажмем клавишу F2, а затем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter. В ячейки G 26: G 29 запишем невязку решения , т.е. в ячейку G 26 запишем формулу: =E 26 –F 26. После всех приготовления запускаем надстройку «Поиск решения» (в зависимости от того какой офис установлен 2003 или 2007/2010 запуск осуществляется немного по-разному). В появившемся окне «Поиск решения» в качестве целевой ячейки ничего не устанавливаем, в качестве изменяемых ячеек устанавливаем ячейки I 26: I 29 и в качестве ограничений записываем, что G 26: G 29 = 0. После всех установок нажимаем кнопку «Выполнить». Как можно убедится, полученные в ячейках I 26: I 29 значения мало отличаются от значений в ячейках H 2: H 5, что означает правильность решения.

4)

Для оценки существования, единственности и устойчивости решения найдем определитель матрицы коэффициентов и обратную матрицу . Для этого используем встроенные в MS Excel функции МОБР и МОПРЕД. Определитель матрицы равен (ячейка J 8). Обратная матрица записана в ячейках J 2: M 5.

Найдем, для проверки, определитель и обратную матрицу по методу Гаусса вручную.

Запишем матрицу коэффициентов системы и дополним ее справа единичной матрицей:

.

Производим преобразования по методу Гаусса, т.е. получаем для левой матрицы нижнюю треугольную матрицу.

Действие 1: выносим за знак матрицы коэффициент 2 из строки 1, т.е. делим всю строку 1 на 2. Полученную строку 1 домножаем на и складываем со строкой 2. Строку 1 домножаем на и складываем со строкой 4. Третью строку не трогаем.

Действие 2: выносим за знак матрицы коэффициент 0, 5 из строки 2, т.е. делим всю строку 2 на 0, 5. Полученную строку 2 домножаем на и складываем со строкой 3. Четвертую строку не трогаем.

Действие 3: выносим за знак матрицы коэффициент из строки 3, т.е. делим всю строку 3 на . Полученную строку 3 домножаем на и складываем со строкой 4.

После преобразований мы получили матрицу:

.

Коэффициент перед матрицей равен определителю исходной матрицы , т.е. . Определитель идентичен найденному в MS Excel по формуле МОПРЕД (ячейка ).

Для определения обратной матрицы произведем процедуру метода Гаусса для полученной матрицы, получая при этом верхнюю треугольную матрицу, а точнее проводим преобразования так, чтобы слева осталась единичная матрица. В этом случае, матрица, полученная справа от единичной, будет обратной матрицей .

Действие 1: домножаем строку 2 на и складываем с первой.

Действие 2: домножаем строку 3 на и складываем со строкой 2, затем домножаем строку 3 на 2 и складываем со строкой 1.

Действие 3: строку 4 складываем со строкой 3, затем домножаем строку 4 на 3 и складываем со строкой 2, после чего домножаем строку 4 на и складываем со строкой 1.

В результате получаем обратную матрицу в виде:

.

Итак, полученная матрица полностью совпадает с матрицей, найденной в MS Excel с помощью функции МОБР в ячейках J 2: M 5.

5)–6)

Как видно, определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, следовательно, система имеет единственное решение. Для оценки обусловленности матрицы найдем меру обусловленности: . Здесь и – нормы соответствующих матриц. Норму будем рассматривать в виде: , где – размер матрицы (в нашем случае ). Нормы матрицы и приведены в ячейках J 14 и N 14 соответственно, и они равны , . Мера обусловленности при этом составит: . Значение меры не очень близко к единице, однако, обусловленность заданной системы можно считать хорошей.

7)–8)

Для окончательного вывода о корректности задачи придадим исходной системе малое возмущение и сравним новое решение со старым, оценив относительную погрешность решения в %. Решение будем производить используя «Поиск решения». Для этого используем ячейки A 33: I 36. В качестве возмущения возьмем изменение значения элемента на 0, 1, т.е. вместо рассмотрим систему с . При этом полученное в ячейках I 33: I 36 решение составляет: , , , . Относительная погрешность решения для каждого значения представлена в ячейках K 33: K 36. Средняя относительная погрешность решения при малом возмущении составляет 5, 868%. Отсюда можно сделать вывод, что малому возмущению соответствует малое изменение в решении. Т.о. поставленная перед нами задача является корректной!