Математические вычисления основных статистических характеристик

Министерство образования московской области

Дмитровский государственный политехнический колледж

Реферат

Дмитров

Г.

Пусть значения приближаемой функции f(x) заданы в N+1 узлах f(x₀),..., f(x_N). Аппроксимирующую функцию будем выбирать из некоторого параметрического семейства F(x, c), где c = (c₀,..., c_n)^T — вектор параметров, N > n.

Принципиальным отличием задачи среднеквадратичного приближения от задачи интерполяции является то, что число узлов превышает число параметров. В данном случае практически всегда не найдется такого вектора параметров, для которого значения аппроксимирующей функции совпадали бы со значениями аппроксимируемой функции во всех узлах.

В этом случае задача аппроксимации ставится как задача поиска такого вектора параметров c = (c₀,..., c_n)^T, при котором значения аппроксимирующей функции как можно меньше отклонялись бы от значений аппроксимируемой функции F(x, c) в совокупности всех узлов.

Графически задачу можно представить так

Запишем критерий среднеквадратичного приближения для метода наименьших квадратов:
J(c) = √ (Σ _i=0^N[f(x_i) — F(x, c) ]²) → min

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию относительно коэффициентов аппроксимирующего многочлена. Она непрерывна и дифференцируема по c₀,..., c_n. Очевидно, что ее минимум находится в точке, где все частные производные равны нулю. Приравнивая к нулю частные производные, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (искомых) коэффициентов многочлена наилучшего приближения.

Метод наименьших квадратов может быть применен для различных параметрических функций, но часто в инженерной практике в качестве аппроксимирующей функции используются многочлены по какому-либо линейно независимому базису { φ _k(x), k=0,..., n }:
F(x, c) = Σ _k=0ⁿ[c_kφ _k(x)].

В этом случае система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов будет иметь вполне определенный вид:
a₀₀c₀ + a₀₁c₁ +… + a_0nc_n = b₀
a₁₀c₀ + a₁₁c₁ +… + a_1nc_n = b₁
…
a_n0c₀ + a_n1c₁ +… + a_nnc_n = b_n

a_kj = Σ _i=0^N [φ _k(x_i)φ _j(x_i) ], b_j = Σ _i=0^N[f(x_i)φ _j(x_i) ]

Чтобы эта система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (определитель Грама) был отличен от нуля. Для того, чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно чтобы система базисных функций φ _k(x), k=0,..., n была линейно независимой на множестве узлов аппроксимации.

В этой статье рассматривается среднеквадратичное приближение многочленами по степенному базису { φ _k(x) = x^k, k=0,..., n }.

Пример

А теперь перейдем к примеру. Требуется вывести эмпирическую формулу для приведенной табличной зависимости f(х), используя метод наименьших квадратов.

Примем в качестве аппроксимирующей функцию
y = F(x) = c₀ + c₁x + c₂x², то есть, n=2, N=4

Система уравнений для определения коэффициентов:
a₀₀c₀ + a₀₁c₁ +… + a_0nc_n = b₀
a₁₀c₀ + a₁₁c₁ +… + a_1nc_n = b₁
…
a_n0c₀ + a_n1c₁ +… + a_nnc_n = b_n

a_kj = Σ _i=0^N[φ _k(x_i)φ _j(x_i) ], b_j = Σ _i=0^N[f(x_i)φ _j(x_i) ]

Коэффициенты вычисляются по формулам:
a₀₀ = N + 1 = 5, a₀₁ = Σ _i=0^Nx_i = 11, 25, a₀₂ = Σ _i=0^Nx_i² = 30, 94
a₁₀ = Σ _i=0^Nx_i = 11, 25, a₁₁ = Σ _i=0^Nx_i² = 30, 94, a₁₂ = Σ _i=0^Nx_i³ = 94, 92
a₂₀ = Σ _i=0^Nx_i² = 30, 94, a₂₁ = Σ _i=0^Nx_i³ = 94, 92, a₂₂ = Σ _i=0^Nx_i⁴ = 303, 76
b₀ = Σ _i=0^Ny_i = 11, 25, b₁ = Σ _i=0^Nx_iy_i = 29, b₂ = Σ _i=0^Nx_i²y_i = 90, 21

Решаем систему уравнений и получаем такие значения коэффициентов:
c₀ = 4, 822, c₁ = -3, 882, c₂ = 0, 999

Таким образом
y = 4, 8 — 3, 9x + x²

График получившейся функции

Математические вычисления основных статистических характеристик

Для исследования зависимости продажи от рекламы были взяты данные отдела маркетинга и рекламы и отдела продаж ООО «ДМК» за последние 4 года по Москве и Московской области. Для проведения необходимых расчетов нами была построена диаграмма рассеивания. (Рисунок 1). По горизонтальной оси расположена величина «Реклама», единица измерения которой тысячи рублей и миллионы рублей соответственно. По вертикальной оси расположена величина «Продажи», единица измерения которой исчисляется в миллионах рублей. Исходные данные приведены в Таблице 1.

Таблица 1. Исходные данные для выявления зависимости продажи от рекламы

Рисунок 1. Диаграмма рассеивания (диаграмма разброса)