Пример выполнения работы. 1. Пусть функция задана таблицей, где первый столбец, х-координата, а второй, y-координата.

1. Пусть функция задана таблицей, где первый столбец, х-координата, а второй, y-координата.

Построим график

Допустим, нам необходимо вычислить значение функции в точке x=0.53. Очевидно, необходимо построить уравнение прямой проходящей через две ближайшие точки и вычислить значение функции для данного значения аргумента. Это линейное приближение.

2. Напишем программу линейной интерполяции.

- количество строк матрицы - 1   - лежит ли х в диапазоне?     - вычисляем индекс точки справа   - угловой коэффициент   - свободный член уравнения   - возвращаемое значение

Теперь можно вычислить значение при х=0.53:

В Mathcad реализованы стандартные функции для линейной интерполяции linterp() и функция interp() для кубической сплайн-интерполяции.

3.1. Линейная интерполяция

Функция :

- векторы данных упорядоченные по возрастанию;

- аргумент, для которого возвращается вычисленное значение.

Для нашего случая:

Построим на графике обе эти зависимости и исходный набор точек:

3.1. Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести через набор точек гладкую кривую так, чтобы в этих точках были непрерывны первая и вторая производные. Вначале вычисляется вектор вторых производных для чего имеется набор из 3-х функций:

- генерирует кривую, являющуюся кубическим полиномом в граничных точках;

- соответственно, параболу;

- прямую.

Вычислим:

Построим график для всех 3-х вариантов.

4. Метод наименьших квадратов

Векторы исходных данных:

Функция mnk, строящая многочлен степени m пометоду наименьшихквадратов, возвращает вектор a коэффициентов многочлена:

Входные параметры:

x, y - векторы исходных данных;

n+1 - размерность x, y.

Вычисление коэффициентов многочленов степени 0, 1, 2, 3 по методу наименьших квадратов:

Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t; многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:

Функция возвращает значение среднеквадратичного отклонения многочлена P(a, m, t):

Вычисление значений , m=0, 1, 2, 3:

Гистограмма

Вывод: оптимальная степень m*=2; многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717

Графики многочленов степени 0, 1, 2 и точечный график исходной функции:

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Постановка задач приближения функций.

2. Метод наименьших квадратов. Вывод нормальной системы метода наименьших квадратов.

3. Погрешность интерполяции.