Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример выполнения работы. 1. Пусть функция задана таблицей, где первый столбец, х-координата, а второй, y-координата.






1. Пусть функция задана таблицей, где первый столбец, х-координата, а второй, y-координата.

 

Построим график

 

Допустим, нам необходимо вычислить значение функции в точке x=0.53. Очевидно, необходимо построить уравнение прямой проходящей через две ближайшие точки и вычислить значение функции для данного значения аргумента. Это линейное приближение.

2. Напишем программу линейной интерполяции.

 

- количество строк матрицы - 1   - лежит ли х в диапазоне?     - вычисляем индекс точки справа   - угловой коэффициент   - свободный член уравнения   - возвращаемое значение  

 

Теперь можно вычислить значение при х=0.53:

 

В Mathcad реализованы стандартные функции для линейной интерполяции linterp() и функция interp() для кубической сплайн-интерполяции.

3.1. Линейная интерполяция

Функция :

- векторы данных упорядоченные по возрастанию;

- аргумент, для которого возвращается вычисленное значение.

 

Для нашего случая:

Построим на графике обе эти зависимости и исходный набор точек:

3.1. Кубическая сплайн-интерполяция

Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести через набор точек гладкую кривую так, чтобы в этих точках были непрерывны первая и вторая производные. Вначале вычисляется вектор вторых производных для чего имеется набор из 3-х функций:

- генерирует кривую, являющуюся кубическим полиномом в граничных точках;

- соответственно, параболу;

- прямую.

 

Вычислим:

Построим график для всех 3-х вариантов.

4. Метод наименьших квадратов

Векторы исходных данных:

Функция mnk, строящая многочлен степени m пометоду наименьшихквадратов, возвращает вектор a коэффициентов многочлена:

Входные параметры:

x, y - векторы исходных данных;

n+1 - размерность x, y.

 

Вычисление коэффициентов многочленов степени 0, 1, 2, 3 по методу наименьших квадратов:

Функция P возвращает значение многочлена степени m в точке t; многочлен задается с помощью вектора коэффициентов a:

Функция возвращает значение среднеквадратичного отклонения многочлена P(a, m, t):

Вычисление значений , m=0, 1, 2, 3:

 

Гистограмма

Вывод: оптимальная степень m*=2; многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения: P2(x)=-1.102+1.598x+0.717

Графики многочленов степени 0, 1, 2 и точечный график исходной функции:

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

         
x y x y x y x y x y
-1 -2.25   4.568 -1 3.614 -0.5 0.72 -2.1 14.1982
-0.7 -0.77 0.375 3.365 -0.74 1.199 -0.25 1.271 -1.8 11.4452
-0.43 0.21 0.563 2.810 -0.48 -0.125   1.2 -1.5 9.1586
-0.14 0.44 0.75 2.624 -0.21 -0.5838 0.25 0.7363 -1.2 7.2426
-0.14 0.64 1.125 0.674 0.05 -0.538 0.5 0.24 -0.9 6.3640
0.43 0.03 1.313 0.557 0.31 -0.2855 0.75 -0.175 -0.6 4.8182
0.71 -0.22 1.5 0.384 0.58 0.1111   -0.36 -0.3 6.1088
  -0.84 1.690 -0.566 0.84 0.4529 1.25 -0.328   3.9536
1.29 -1.2 1.875 -1.44 1.1 0.6711 1.5   0.3 4.6872
1.57 -1.03 2.063 -1.696 1.36 0.6625 1.75 0.3538 0.6 4.7601
1.86 -0.37 2.25 -1.91 1.63 0.4501   0.72 0.9 5.8511
2.14 0.61 2.438 -2.819 1.89 0.157 2.25 0.6969 1.2 7.1010
2.43 2.67 2.625 -3.625 2.15 -0.1876 2.5   1.5 9.1792
2.71 5.04 2.813 -3.941 2.41 -0.542 2.75 -1.792 1.8 11.421
  8.90   -4.367 2.95 -0.1983   -5.16 2.1 14.097

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Постановка задач приближения функций.

2. Метод наименьших квадратов. Вывод нормальной системы метода наименьших квадратов.

3. Погрешность интерполяции.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал