Метод касательных. Пусть функция f(x) выпукла и дифференцируема на [a,b]

Пусть функция f(x) выпукла и дифференцируема на [a, b]. Идея метода состоит в следующем. Пусть [a, b] - отрезок неопределённости и - результаты вычислений в точках a и b. По этой информации строится аппроксимирующая функция, представляющую из себя кусочно-линейную функцию, состоящую из касательной к f(x) в точке a и касательной к f(x) в точке b.

Полученная аппроксимирующая функция есть ломанная состоящая из прямой L_a(x) на [a, c] и L_b(x) на [c, b], где с – точка пересечения касательных. Легко заметить, что при f(a)> 0 и f(b)> 0 минимум аппроксимирующей функции достигается в точке с. Значение точки пересечения с можно определить по формуле

В точке с производятся вычисления f(c) и f``(c). Если f``(c)=0, то решением задачи будет x^*=c. Если же f `(c)> 0, то в качестве следующего отрезка неопределённости будет [a, c]. Если же f``(c)< 0, то – отрезок [c, b]. Процесс повторяется до тех пор, пока f `(c)=0 или отр–к неопр–ти не достигнет заданной точности.

Схема алгоритма:

Шаг 1. Заданы a, b, ε. Вычислить .

Шаг 2. Если b-a≤ 2ε, то полагаем . Поиск окончен. Если b-a> 2ε, то вычислить . Если z =0, то полагаем и поиск окончен. Если z< 0, то . Если z> 0, то . Повт–ть шаг2.