Критерий устойчивости Михайлова.

САР устойчива тогда и только тогда, если годограф ее характеристического полинома степени начинается на положительной действительной полуоси и при изменении частоты от нуля до бесконечности последовательно проходит на комплексной плоскости против часовой стрелки квадрантов, и в -м квадранте уходит на бесконечность.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

Критерий Найквиста – позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы (всей САУ) по частотной характеристике разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы «не охватывал» точку с координатами .

Если разомкнутая система неустойчива и имеет неустойчивых («правых») корней, тогда для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста разомкнутой системы охватил точку раз.

Достоинство. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Возникает вопрос: зачем нужен критерий Найквиста, если с помощью современных программных средств не представляет труда найти корни характеристического полинома и по ним судить об устойчивости системы?

Дело в том, что критерий Найквиста, в отличие от критериев Гурвица и Михайлова, позволяет анализировать устойчивость замкнутой САУ и со звеном запаздывания в контуре.

Наличие звена постоянного запаздывания ухудшает устойчивость системы.

Характеристический полином такой системы имеет бесконечное число корней, среди которых могут быть и корни неустойчивые, поэтому численные методы в таких случаях становятся бессмысленными для обоснования устойчивости.

Метод энергетического баланса – позволяет оценить устойчивость неконсервативной системы по следующим соображениям: если в процессе движении (колебаний) мощность, подводимая в систему, превышает мощность рассеиваемую, то скорости или амплитуды колебаний обобщенных координат системы с течением времени будет возрастать, и система будет неустойчива. Такой метод позволяет сформировать условия устойчивости систем по отношению к возможным автоколебаниям. В этом случае условия устойчивости системы могут быть получены непосредственно в форме соотношений между параметрами системы.

Лекция 11. Качество САУ. Точность. Астатизм.

Качество САР это понятие, характеризующее способность САР правильно выполнять возложенные на нее задачи. Основные, принципиальные с точки зрения ТАУ, характеристики качества работы САР это ее быстродействие и точность. И оценивать их целесообразно отдельно для установившегося и переходного режимов работы САР.

Качество работы линейных непрерывных САР характеризуется пятью основными чис-ловыми показателями.

Для установившегося режима работы прямые показатели это коэффициенты ошибок:

, и - коэффициент ошибки по положению, скорости и ускорению соответственно.

Ошибка регулирования (по заданию) определяется из соотношения:

, где .

Если то говорят, что система обладает астатизмом -го порядка.

Если , то говорят просто, что система обладает астатизмом.

Добавление в состав регулятора нескольких интегральных звеньев позволяет повысить порядок астатизма, тем самым обеспечить нулевую установочную ошибку для достаточно сложного вида входного воздействия.

Интеграторы могут быть неотъемлемым свойством элементов системы. Но не может существовать системы, имеющей нулевую установившуюся ошибку абсолютно для любого воздействия, так как это потребовало бы равенства при всех . Но это может быть лишь, если , что невозможно для реальной системы.

Для переходного режима прямые показатели качества работы это:

- время регулирования , т.е. это время от начала переходного процесса до момента, когда отклонение управляемой величины от ее установившегося значения не превышает некоторого наперед заданного предела, обычно принимаемого равным 5%;

- перерегулирование – это максимальное отклонение управляемой величины от ее

установившегося значения, выраженное в относительных единицах: .

Прямые показатели могут быть вычислены с помощью математических моделей или получены экспериментально при исследовании реальной системы.

Косвенные показатели не могут быть непосредственно измерены, но они могут быть получены методами математического моделирования. К ним относятся:

- запас устойчивости по амплитуде (допускается 4-10 раз или 12-20 дБ);

- запас устойчивости по фазе (допускается );

- корневые критерии (колебательность, степень затухания - оценивают по расположению корней на комплексной плоскости);

- резонансная частота - частота, на которой возможно максимальное усиление замкнутой САР входного гармонического сигнала;

- полоса пропускания САР - это интервал частот от до , на котором выполняется условие: . Если полоса широкая (высока ), то система будет воспроизводить высокочастотные помехи;

- частота среза – частота, на которой АЧХ замкнутой САУ равен единице. По ней можно косвенно судить о длительности переходного процесса .

- интегральные показатели переходного процесса (специального вида функционалы качества: ; ; ; и пр.).

Лекция 12. Синтез САУ. Оптимизация параметров САУ.

В ТАУ можно выделить две характерные задачи: 1) в заданной САУ найти и оценить переходные процессы - это задача анализа САУ; 2) по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ - это задача синтеза САУ.

С точки зрения ТАУ целью синтеза является формирование закона управления, при котором достигаются заданные показатели устойчивости и качества системы. Закон управления – это зависимость между отклонением регулирующего органа и сигналом ошибки. Объект управления и исполнительные органы образуют, так называемую, неизменяемую часть системы, параметры которой являются исходной информацией при синтезе. Передаточную функцию неизменяемой части обозначим как . Конечная цель синтеза заключается в определении параметров специальных корректирующих устройств, которые, будучи добавлены к неизменяемой части системы, придадут ей необходимые свойства.

Существуют три способа коррекции САУ.

1) Последовательная коррекция: .

– передаточная функция последовательного корректирующего устройства.

2) Параллельная коррекция: .

– передаточная функция параллельного корректирующего устройства.

3) Коррекция в виде обратных связей: .

– передаточная функция звена корректирующей обратной связи.

Приравнивая полученные передаточные функции, можно выразить передаточную функцию любого вида коррекции через другие.

Наиболее просто коррекция САУ осуществляется изменением коэффициента передачи прямой цепи. Пусть система является статической и ее передаточная функция в разомкнутом состоянии имеет вид: . Тогда для передаточной функции замкнутой системы по ошибке получим: .

Типичным последовательным корректирующим устройством является ПИД-регулятор.

Передаточная функция ПИД-регулятора: ,

где , , - коэффициенты усиления соответственно пропорционального, интегрального и дифференцирующего звеньев.

Влияние : - позволяет изменить коэффициент усиления системы, тем самым уменьшить установившуюся ошибку: .

Влияние : - повышение порядка астатизма на 1.

Влияние : - не влияет на установившуюся ошибку, так как не зависит от :

при .

Выбор оптимальных (по различным критериям) параметров ПИД-регулятора целесообразно выполнять с помощью оптимизатора, встроенного в ПК МВТУ.

Лекция 13. Нелинейные САУ. Фазовые траектории.

Динамическая система считается нелинейной, если она содержит хотя бы один нелинейный элемент или нелинейное звено.

В системах автоматического управления различают два вида нелинейностей: статические и динамические.

Статические нелинейности – это нелинейности статических характеристик. Выходная переменная статических нелинейных звеньев в каждый момент времени зависит только от значений входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как эта входная переменная изменялась до рассматриваемого момента времени. Таким образом, вход и выход нелинейного звена связаны между собой нелинейной статической характеристикой .

Динамические нелинейности – это нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих звено, например, .

В наиболее распространенных случаях нелинейные свойства системы в основном определяются наличием в системе статических нелинейностей. Поэтому рассматриваемый класс нелинейных систем ограничим нелинейностями только статического вида.

Различают статические нелинейности существенные и слабые. Нелинейность считается слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы, причем процессы в такой линеаризованной системе качественно не должны отличаться от процессов в реальной системе.

Нелинейность является существенной, если подобная замена невозможна.

Главные особенности этих систем вытекают из их неподчинения принципу суперпозиции:

1. Колебания переходного процесса в нелинейных системах могут отличаться от входного гармонического сигнала, как по форме, так и по частоте, например, если .

2. В нелинейных системах аппарат частотных характеристик не подходит. Здесь частотные характеристики существенно зависят от амплитуды входного сигнала.

3. В нелинейных системах условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия: система устойчива при одних значениях воздействий и неустойчива при других его значениях. Для некоторых нелинейных систем, имеющих зону нечувствительности, наблюдается континиум состояний равновесия. Таким образом, в нелинейных системах говорят только об устойчивости конкретного состояния равновесия – устойчиво оно или нет.

4. В нелинейных системах могут существовать собственные особые движения, получившие название автоколебаний. Автоколебания – это устойчивые собственные колебания, возникающие из-за нелинейных свойств системы при особых условиях.