Коэффициент усиления слабого сигнала

Рис. 1.

Найдем выражение для коэффициента усиления через параметры состава среды. Рассмотрим элемент объема плоской электромагнитной волны, распространяющейся через активную среду COIL (рис. 1). В стационарном состоянии в каждой точке эйлеровой (лабораторной) системы координат все параметры не зависят от времени. В то же время в системе координат, перемещающейся вместе со световой волной, интенсивность и плотность фотонов меняются. Поэтому:

где N – количество фотонов в выделенном элементе объема волны. Используется также связь между интенсивностью, переносимой оптической волной (I), и плотностью фотонов в волне (r): . Преобразуем:

В то же время N=rN_AFdx, поэтому:

Объединяя, получаем выражение для пространственной производной от интенсивности волны:

С другой стороны, в системе координат, движущейся вместе со световой волной, плотность фотонов управляется кинетическими уравнениями:

Первая из этих реакций – это процесс вынужденного излучения, когда второй фотон появляется вследствие перехода атома йода из возбужденного в невозбужденное состояния под влиянием «вынуждающего» фотона. Формально – это реакция второго порядка, т.к. ее скорость пропорциональна не только концентрации возбужденных атомов йода, но и концентрации фотонов. Константа скорости этой «реакции» равна cs, где s - сечение вынужденного излучения [1]:

(&)

Вторая реакция – это процесс поглощения кванта. Известно [1], что ее скорость вдвое меньше скорости вынужденного излучения.

Необходимо обратить внимание, что размерность констант скорости, определенных таким образом (м³/с), соответствует измерению концентраций в частицах (атомах, молекулах или фотонах) на единицу объема. В нашем случае концентрации обычно измеряются в молях на единицу объема (конкретно – на м³), а константы скорости реакций второго порядка – в м³/(моль*с). Для перевода в «нашу» размерность необходимо умножить константу из (?) на число Авогадро:

Тогда, в соответствии с законом действующих масс,

Это выражение необходимо будет подставить в (:). Но прежде, переходя от плотности фотонов к интенсивности волны: r=I/(N_Achn), а также используя выражения для концентраций атомов йода:

получаем:

Теперь, подставляя это в (:), получаем дифференциальное уравнение для I:

Решаем:

Получили закон Бугера, описывающий экспоненциальный рост (затухание) волны. Коэффициент усиления определяется как показатель закона Бугера:

Коэффициент усиления может быть как положительным, и тогда интенсивность экспоненциально растет, так и отрицательным, и тогда волна затухает – в зависимости от величины степени активации «a». При a=1/3 коэффициент усиления равен нулю, то есть имеет место равновесие между процессами вынужденного излучения и поглощения квантов.

Полученное выражение для коэффициента усиления справедливо при любой интенсивности волны. Пусть электромагнитное излучение, присутствующее в резонаторной полости кислородно-йодного лазера, настолько слабое, что состав среды от него не зависит и полностью определяется только процессами электронного обмена.

Рассмотрим самые существенные из них:

Первая реакция – это процесс накачки, в котором молекула синглетного кислорода передает энергию электронно-возбужденного состояния атому йода. Обратный процесс также имеет место. Закон действующих масс позволяет выписать уравнение для концентрации возбужденных атомов йода:

Подставляя выражения для концентраций молекул кислорода:

а также уже использовавшиеся выражения для концентраций атомов йода (:), получаем:

Упрощаем:

Установившееся решение (da/dt=0):

где K_e=k₂/k₁ – константа равновесия процесса накачки. Теперь остается подставить результат в (%). Вычислим, чему равно (3a-1):

Подставляем:

Это выражение для коэффициента усиления слабого сигнала. Степень активации йода определяется только равновесием процесса накачки, то есть только значениями Y – относительной концентрацией синглетного кислорода и K_e – константой равновесия накачки.

При Y=0 коэффициент усиления равен

При Y=K_e/(2+K_e) коэффициент усиления равен нулю. При Y=1 имеем:

Рассмотрим теперь немного более сложный случай, когда, кроме накачки, имеет место еще процесс тушения возбужденных атомов йода молекулами воды. Тогда схема реакций электронного обмена будет выглядеть так::

Закон действующих масс позволяет выписать уравнение для концентрации возбужденных атомов йода:

Подставляя выражения для концентрации молекул воды:

а также уже использовавшиеся выражения для концентраций йода и кислорода, получаем:

Упрощаем:

Установившееся решение (da/dt=0):

где – «эффективная» константа равновесия накачки, учитывающая влияние тушения:

Теперь, аналогично (%), получаем выражения для коэффициента усиления слабого сигнала:

[1] - Юрышев

N_A – число Авогадро

c – скорость света

h – постоянная Планка

n - частота световой волны