Связь напряжённости с потенциалом

Электростатическое поле можно описать как с помощью векторной величины ` Е, так и с помощью скалярной величины φ. Эти величины связаны между собой.

Возьмём в поле две близкие эквипотенциальные поверхности с потенциалами φ ₁ = φ и φ ₂ = φ + Δ φ (см. Рис. 4). Переместим пробный положительный заряд q ₀ из точки А в точку В по направлении перпендикулярному эквипотенциальным поверхностям. Так как заряды мы перемещаем в сторону возрастания потенциала, нужно приложить внешнюю силу. Работа этой силы равна:

А = F Δ l = q ₀ E Δ l (4)

Работа поля при этом выразится через разность

потенциалов:

А = q ₀[ φ – (φ + Δ φ)] = – q ₀ Δ φ. (5)

Так как работа внешней силы равна работе поля,

то:

q ₀ E Δ l = – q ₀Δ φ,

откуда:

(6)

Таким образом, напряжённость поля в данной точке численно равна изменению потенциала на единицу расстояния, отсчитанного в направлении, перпендикулярном к эквипотенциальной поверхности. Знак минус указывает на то, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала. Единица напряжённости В/м устанавливается из формулы (6).

Связь напряжённости с потенциалом можно выразить в более общем виде. Если записать составляющие напряжённости по координатам:

; ; ,

то вектор напряжённости можно выразить формулой:

(7)

Это выражение называется градиентом потенциала и обозначается:

(8)

Градиент потенциала – это вектор, направленный в сторону наиболее быстрого убывания потенциала, то есть в направлении, перпендикулярном эквипотенциальным поверхностям в данной точке поля. В указанном направлении изменение потенциала на единицу длины наибольшее.