Дивергенция векторного поля.

Пусть в некоторой системе координат . Скалярная величина (скалярное поле) называется дивергенцией поля в точке М и обозначается : . С помощью оператора набла дивергенция определяется как скалярное произведение . В дальнейшем мы увидим, что дивергенция инвариантна относительно системы координат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем свойства дивергенции:

1. Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

2. (или );

3. Если u - скалярное поле, то (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем, например, третье свойство. .

Пример вычисления дивергенции: если , то .

17.2.2.2. Ротор векторного поля. Ротором векторного поля (M) в точке называется векторная величина (векторное поле) . Запомнить эту формулу очень легко, если выразить через оператор Гамильтона набла: равен векторному произведению . Действительно, . Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим

.

Пример: если , то

Свойства ротора:

1. Если (M) - постоянное векторное поле, то ;

2. (или );

3. Если u - скалярное поле, то (или ). В частности, если (M) - постоянное векторное поле, то .

Докажем третье свойство.

.