![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Образцы решения задачСтр 1 из 2Следующая ⇒
Издание АГУ Барнаул 2000
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ ”ТЕОРИЯ ПОЛЯ’’
: для студентов 2 курса физического факультета. — Барнаул: изд. АГУ, 2000.
ПЕЧАТАЕТСЯ по решению Совета математического факультета и методической комиссии МФ
Составители к.ф.–м.н., доцент Гончарова О. Н., доцент Саженкова Т. В. Рецензент к.ф.-м.н., доцент Семенов С. П.
План издания УМД 2000г, п. 41 Алтайский государственный университет, 2000 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Дать определения: а) поля, б) скалярного поля, в) векторного поля, г) функции поля (здесь и определение векторной функции нескольких действительных переменных), д) линии уровня, е) поверхности уровня, ж) производной скалярного поля по направлению в этом поле. 2. Рассказать: а) о декартовой системе координат, б) о цилиндрической системе координат, в) о сферической системе координат, г) о связи между декартовыми координатами точки и ее цилиндрическими, сферическими координатами, д) о связи единичных векторов, направленных вдоль координатных линий в сторону возрастания соответствующей координаты, в цилиндрической и сферической системах координат с единичными векторами 3. Знать выражение оператора Гамильтона в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. 4. Дать определение дифференциальных операций 1-го порядка: градиента, дивергенции, ротора в скалярном и векторном полях с помощью оператора 5. Знать метод получения выражения для 6. Дать определение дифференциальных операций 2-го порядка в скалярном и векторном полях с помощью оператора 7. Знать связь между дифференциальными операциями 2-го порядка. 8. Знать метод получения выражений для оператора Лапласа в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. 9. Знать формулы для вычисления интегралов: а) криволинейного 1-го и 2-го рода путем сведения к определенному интегралу, б) поверхностного 1-го и 2-го рода путем сведения к двойному интегралу. 10. Доказать теорему об условиях независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования, соединяющему две заданные точки. 11. Доказать теорему Стокса (о связи криволинейного интеграла 2-го рода по гладкому замкнутому ориентированному контуру и поверхностного 2-го рода по гладкой ориентированной поверхности, натянутой на этот контур). 12. Доказать теорему Остроградского (о связи поверхностного интеграла 2-го рода по гладкой ориентированной поверхности и тройного интеграла по области, ограниченной этой поверхностью). 13. Дать определения: а) циркуляции векторного поля, б) потока векторного поля. 14. Знать методы вычисления циркуляции и потока непосредственно по формулам Стокса и Остроградского, соответственно. 15. Дать инвариантные определения 16. Указать связь между 17. Дать определения: а) потенциального векторного поля, б) соленоидального векторного поля, в) безвихревого векторного поля, г) гармонического векторного поля. 18. Привести примеры этих полей. 19. Дать определение источников и стоков векторного поля.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПРИМЕР А. Найти величину и направление градиента функции РЕШЕНИЕ. Функция Найдем градиент в точке M(0, 0, 0):
Величина градиента Направление градиента определяется косинусами направляющих углов т.е.
ПРИМЕР Б. Наити дивергенцию векторного поля РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР В. Найти ротор векторного поля РЕШЕНИЕ: ПРИМЕР Г. Показать, что поля РЕШЕНИЕ: 1). Вычислим дивергенцию
Следовательно, поле 2). Вычислим дивергенцию Следовательно, поле ПРИМЕР Д. Дано поле РЕШЕНИЕ: 1). Вычислим ротор Следовательно, поле 2). Вычислим потенциал, приняв за начальную фиксированную точку Имеем
|