Ортогональные системы функций.

Гл. Ряды Фурье. Интеграл Фурье.

Периодические функции и их свойства.

Пусть f(x) функция определена а всей числовой оси

Df1. Число Т называется периодом f(x) если для ∀ x ∈ R справедливо равенство

f(x+T) =f(x), T> 0

Df2. Функция имеющая период отличный от нуля называется периодической.

Основные свойства периодических функций

1. Если Т – период функции, то 2Т; 3Т, … и т.д. nT где n∈ также будет периодом

2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет периодом число ;

f [a(x+ )]= f (ax+Т)= f(ax).

3. Если f(x) ϵ C[R] имеет период Т, то интеграл этой функции взятый в пределах отличающийся на Т, не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е.

Cϵ

Доказательство:

4. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т, есть периодические функции того же периода.

Ортогональные системы функций.

Вспомним Df скалярного произведения векторов в .

1) - это произведение можно вычислить, если известны длины векторов и угол.

Как известно в ортонормированном базисе

2)

3) Длина вектора

4) Угол

Для того чтобы

Из этого следует, что если первичным является скалярное произведение (2),

то длину вектора и Cos угла можно вычислить по формулам (3) и (4). Это верно для векторов и для (лин.алгебра).

По аналогии с (2) определим скалярное произведение двух функций.

Пусть интегрируемы в квадрате на .

Df1. .

Замечание. Скалярное произведение функций обладает всеми свойствами .

Df2. норма (длина) функции.

Функция называется нормированной, если:

Df3. Функции называются ортогональными, если:

Df4. Система заданная на называется ортогональной, если:

и она называется ортонормированной, если:

Замечание1. Если система на ортогональна и то система ортогональна.

Доказательство.

Замечание 2. В множестве функций заданных на ортонормированные системы играют роль ортонормированных базисов.

Вспомним, что если о.н.б., то имеет разложение при этом легко видеть, что при умножении этого разложения на базисные вектора будем иметь:

Если же ортогональный базис и то:

Пусть теперь на заданы функция и ортогональная система функций:

Df5. Коэффициентами Фурье функции по системе (10) называется:

а ряд называется рядом Фурье по системе (10).

Замечание 1. Если ортонормированная система, то

Замечание 2. Коэффициенты Фурье – аналоги координат вектора в ортонормированном базисе.

Th. (Неравенство Бесселя). Пусть ортонормированная система в евклидовом пространстве Е. Тогда имеет место неравенство Бесселя:

коэффициенты Фурье элемента x по системе

Доказательство.

Пусть где . Рассмотрим тогда в силу ортонормированности системы имеем таких, что :

Но

т.е. имеет место тождество Бесселя:

откуда .

Вновь используя ортонормированные системы имеем то тогда и, переходя в этом неравенстве к пределу при получаем неравенство Бесселя.

Следствие 1. (Неравенство Бесселя в ).

Пусть о.н.с. функций в и (где ) – ряд Фурье функции , тогда имеет место неравенство Бесселя:

Следствие 2. Пусть и , где коэффициенты Фурье для .

Тогда из неравенства Бесселя следует сходимость знакоположительного ряда , а потому в силу необходимого условия сходимости числовых рядов, имеем для коэффициентов Фурье

§3. Интегралы от некоторых тригонометрических функций (вспомогательные интегралы).

I тип.

II тип.

III тип.

IV тип.

Следует иметь ввиду:

Применяют формулы: и учитывая, что при , а получаем равенство IV.

Если .

V.

§4. Ряд Фурье 2π -периодической функции.

Df1. Тригонометрической системой функций называется система:

.

Df2. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

т.е.:

Доказательство:

Воспользуемся формулой получаем:

Если , то:

Т.к. для

Если то: для .

Таким образом, равенство V справедливо для .

Th. Тригонометрическая система (1) является ортогональной на где - любое число.

Определим нормы системы функций (1).

Пусть далее функция периодическая, интегрируемая функция. Её коэффициентами Фурье являются числа.

(2)

(3)

(4) ,

Для удобства обозначим: тогда:

(5)

Как видно из (5) получается из (3) при .

Рядом Фурье функции по системе функций (1) является ряд:

(6) т.е.:

ряд , где коэффициенты вычисляются по формулам (3) и (4).

Замечание. Для 2π тригонометрических функций тригонометрическая система играет роль ортогонального базиса, а коэффициенты Фурье – координат.

Th. Всякий равномерно сходящийся на (-∞, +∞) тригонометрический ряд (6) является рядом Фурье для своей суммы.

§5. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Условие Дирихле.

Всюду ниже рассматриваются 2π периодические функции и ряды Фурье по тригонометрической системе.

Тот факт, что функция имеет данный ряд Фурье записывают так:

(1).

Основными вопросами являются:

1.) Сходится ли ряд Фурье в точке, на промежутке?

2.) Если да, то чему равна его сумма?

Если ряд Фурье функции сходится в каждой точке , то говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на .

Отметим.

(.) функции называется (.) разрыва 1-ого рода, если и конечные односторонние пределы функции в (.) :

предел слева

предел справа

Точка разрыва первого рода называется правильно точкой разрыва, если:

.

Функция называется кусочно-монотонной на , если его можно разбить на конечное число отрезков внутри каждого из которых функция только возрастает, или только убывает, или постоянна.

Функция называется кусочно-гладкой на , если его можно разбить на конечное число отрезков внутри каждого из которых функции имеют непрерывную производную.

Будем говорить, что функция на удовлетворяет условиям Дирихле, если:

1. Она непрерывна на всюду, кроме конечного числа точек разрыва 1-ого рода.

2. Или она кусочно-гладкая, или кусочно-монотонная на этом отрезке.

(В 1829г. Дирихле дал первое строгое доказательство того, что ряд Фурье действительно сходится к порождающей его функции )

Th. (Дирихле) Если имеет период и - непрерывна, или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода и можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них, монотонна, то ряд Фурье функции сходится при всех значениях , причём в точках непрерывности функции его сумма равна , а в точке разрыва функции его сумма равна полусумме предельных значений слева и справа.

на концах

Кроме того, ряд Фурье сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .

Замечание. Не для всякой функции можно построить ряд Фурье. Нельзя написать ряд Фурье функции для которой не ∃ в формуле для .

В формуле (1) вместо знака (~) соответствия можно поставить знак (=), когда удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

§6. Ряд Фурье чётных и нечётных функций с .

Пусть периодическая функция, всюду ниже будем рассматривать её на .

Следует отметить, что условия Дирихле являются достаточными для сходимости ряда Фурье, и все же не являются необходимыми.

Риманом было установлено, что сходимость ряда Фурье в данной точке зависит от поведения функции лишь в непосредственном соседстве с этой точкой. Минимум ограничений, необходимый для сходимости ряда Фурье ещё не известен.

Как известно её коэффициенты Фурье есть:

(1)

(2)

а ряд Фурье:

(3)

Если дополнительно функция является чётной или нечётной на , то её коэффициенты и ряд Фурье можно записать в более простом виде, чем (1), (2) и (3).

Справедливы следующие утверждения:

Лемма. Если чётная, то , если нечётная, то .

Доказательство.

I. Пусть чётная.

II. Пусть функция нечётная.

Периодическая функция периода 2π называется чётной, если для каждого : . Из этого определения вытекает, что график любой чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Тогда

Th1. Если чётная, то её ряд Фурье содержит только косинусы и синусы и постоянную составляющую.

Доказательство:

Т.к. чётные функции. То чётная и, следовательно по Лемме , т.к. нечётная функция, то по Лемме:

В этом случае получается ряд Фурье, содержащий только постоянную величину и члены с косинусами (разложение по косинусам), т.е.:

Функция чётная и удовлетворяет условию Дирихле, следовательно:

Th2. Если нечётная, то её ряд Фурье содержит только синусы.

Доказательство:

Дано: тогда функция нечётная,

чётная и, следовательно, по Лемме:

В этом случае её ряд Фурье содержит только члены с синусами.

Пример 2. Разложить функцию в ряд Фурье,

Т.к. нечётная, то:

.

Замечание. Как следует из (5) и (8) в случае, когда то и на этом промежутке имеем:

и .

Эти два разложения фукции на по не случайны. Оказывается, если функция задана на полупериоде, то её можно разложить, как в ряд по , так и в ряд по .

А именно. Пусть функуия задана на .

Продолжим её на чётным образом обозначим её продолжение через . Тогда для

Для будем иметь:

.

Тогда:

Для .

Т.о., доказано, что функция заданная на может быть разложена как в чётный, так и в нечётный ряд Фурье. Любое разложение функции в ряд Фурье означает разложение её на составляющие гармоники.

§7. Ряд Фурье функции с произвольным периодом.

Пусть функция имеет период Т.е.

Рассмотрим линейное отображение на .

Уравнение прямой искомое отображение,

Легко видеть, что периодическая, периода 2π, т.е.:

Разложим функцию в ряд Фурье:

где

Аналогично:

Подставляя в (1) получим:

Простое объяснение перехода.

Замена переводит ряд в ряд

Формула (4) задаёт ряд Фурье функции , а (2) и (3) – коэффициенты Фурье этой функции.

Пример. Разложить в ряд Фурье на (-2, 2) функцию .

Df. Пусть . Тогда тригонометрический ряд

называется рядом Фурье для функции на , если его коэффициенты вычисляются по формулам Фурье (2) и (3).

Замечание. Если ряд (4) сходится на к функции , то его сумма есть периодическая с периодом

Следствие. Пусть тригонометрический ряд (4) сходится равномерно на к функции . Тогда этот ряд является рядом Фурье для своей суммы .

Следует иметь ввиду, что замена переводит ряд (4) в ряд (1), имеющий своей суммой функции .

Поскольку ряд (1) сходится равномерно на к функции , имеем для его коэффициентов представление:

Замечание.

а.) Если функция периода является чётной, то так же как и в случае 2π периодической из Леммы следует, что:

б.) Если нечётная, то для неё:

Пусть задана на , . Отобразим на .

Уравнение по двум (..) имеет вид:

Функция задана на . Разложим её в ряд Фурье:

Замечание:

(6)

Переходя в (4) от к , получим

Учитывая знаки при получим, что:

То:

Формулы (5’), (6’) задают коэффициенты Фурье непериодической функции, а (7) – её разложение в ряд Фурье на .

Пример. Разложить в на в ряд Фурье.

Решение.

Рассмотрим схему разложения функции в ряд Фурье в самом общем случае.

Задача. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на промежутке

Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему:

1.) Построение графика заданной в функции и проверка выполнения условий Дирихле.

2.) Периодическое продолжение функции периода на всю числовую ось.

3.) Вычерчивание эскиза графика полученной функции.

4.) Определение характера симметрии функции: чётность, нечётность и т.п.

5.) Выписывание в общем виде ряда Фурье функции :

6.) Вычисление коэффициентов по формулам: