Достаточные условия оптимальности.

1. Если целевая функции и ограничения – строго выпуклые функции, то необходимые условия будут одновременно и достаточными условиями глобального экстремума.

2. По теореме Вейерштрассе, если ОДР ограниченная и замкнутая область, то глобальные экстремумы достигаются в .

Поэтому для поиска минимума достаточно среди точек, подозрительных на экстремум,

а) выделить те, которые удовлетворяют условиям ,

б) вычислить в них значение целевой функции,

в) сравнить их и найти наименьшее.

Аналогично, для поиска максимума выделяем точки с .

Пример.

Решение.

Запишем систему (3), (4):

(12)

1) Пусть , . Система (12) примет вид . Нет решений внутри области G.

2) Пусть , . Тогда система (12) пример вид:

, ,

, .

А) если , то .

Проверим, принадлежит ли точка ОДР, т.е. проверим ограничение (11): .

Точка .

Б) если , то .

Проверим ограничение (11): .

Точка .

3) Пусть , . Тогда система (12) примет вид

. Нет решений.

4) Пусть , . Система (12) примет вид:

,

Из двух последних уравнений:

,

Точка уже рассматривалась. При этом и .

Рассмотрим точку . Тогда и .

5) Вычислим значения функции в полученных точках.

				min
				max

Дополнительно:

3. В общем случае, если область ограничений не ограничена, то точка будет точкой минимума (максимума), если в этой точке

()

для всех ненулевых таких, что

при и ()

при и

Пример. .

Ограничение .

Экстремум ищется в неограниченной полуплоскости.